六年级数学教案——《分数的除法》_教学设计

六年级数学教案——《分数的除法》

根据量、度量单位（基准量）与量数的基本关系：

量＝度量单位（基准量）量数。

我们已经知道：当a、b是自然数，且b0时，除法算式ab表示两种意义：

⑴由量基准量（度量单位）＝量数，可知：ab可以表示a是b的几倍或几分之几。这时a与b表示两个量。

⑵由量量数＝基准量（度量单位），可知：ab可以表示什么数的b倍等于a，或者把a平均分成b份，每份是多少。这时a表示一个量，b表示量数（用所求的量去度量a所得的结果）。

从实际问题抽象出来的除法算式ab，究竟表示上述两种意义中的哪一种，必须结合具体情景才能来确定。

当a、b为分数时，除法算式ab仍然具有上述两种意义，但必须探索它的算法。分数除法的算法分两种情形来探索：一是除数是整数的情形；二是除数是分数的情形。

一、除数是整数的分数除法

下图（图1）是一个长方形，把它的涂色部分平均分成2份，每份是这个长方形的几分之几？

图1

我们可以从前面的分数墻上直接看出这个结果。

但是，我们还需要探索，从算式2怎么算出结果呢？

算法1：2＝＝。

一个分数的分子缩小到原来的一半，分母不变，所得的分数就是原来的一半。

算法2：因为的一半等于的，所以，

2＝＝。

比较上面两种算法，算法1有局限性，它转化为两个整数的除法运算，可是在整数范围除法并非总能实施，畅通无阻。

如果图1中的涂色部分平均分成3份，每份是这个长方形的几分之几？

算式：3＝？

上面的算法1就行不通了，算法2行得通。

因为3＝的，所以，

3＝＝。图2

图2中的斜线部分是长方形的，也验证了上面的算法是正确的。

从以上的探索结果，可以产生一个猜想：除以一个整数（零除外）等于乘这个整数的倒数。

这个猜想是否成立？有待检验。

理解分数除法的意义，还有另一条重要途径。

在探索分数乘法意义的时候，我们得到一个重要的数量关系：

量＝度量单位量数

从这个基本关系可以引伸出两个变式：

量量数＝度量单位，

或量度量单位＝量数。

因此，对于除法算式3＝？的意义，可以作这样解释：用什么数为度量单位去度量时，量数是3？于是便有下面的代数解法：

设3＝x，

可得，3x＝，

x＝，

x＝。

即3＝。

在图2中，用斜线部分（即）为度量单位去度量涂色部分（即）时，量数的确是3。这里，我们又看到了，代数的方法与图形的直观相互印证，和谐统一。

代数在解法的过程中，注意到3＝x和x＝，

得3＝。

这也验证了一个数学事实：除以一个自然数（零除外）等于乘这个数的倒数。

二、除数是分数的除法

这个探索其实不必再从具体情景或实际操作入手。

因为前面在探索除数是整数的分数除法的时候，已经获得了重要的数学事实：除以一个自然数（零除外）等于乘这个数的倒数。因此，可以类比，得到猜想：除以一个分数是否等于乘这个分数的倒数呢？

验证这个猜想，除了教材提供的方法外，还有其他途径。

途径1：用代数方法检验。

计算：8＝？

设8＝x，

可得，x＝8，

x＝8，

x＝12。

注意到8＝x和x＝8，即8＝8。

途径2：从已知到未知的推理。

8＝8（1）

＝8根据倒数关系：＝1

＝12。

因此，无论除数是整数还是分数，分数除法只有如下法则：

除以一个数（零除外）等于乘这个数的倒数。

这个法则也告诉我们，倒数概念的重要性：有了倒数，乘法和除法两种不同的运算可以统一为乘法运算。

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