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例1. 如图1，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形怎样求重叠部分的面积1，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？

怎样求重叠部分的面积2

图1

解：由正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形怎样求重叠部分的面积1

怎样求重叠部分的面积3

设怎样求重叠部分的面积4，则怎样求重叠部分的面积5，根据勾股定理，

怎样求重叠部分的面积6

变题：如图2，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形怎样求重叠部分的面积1，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？

怎样求重叠部分的面积7

图2

分析：将原题中的30变成60后，原来的解题方法已经不能再用了，那就要另外想办法了。

仍然要连结AE，怎样求重叠部分的面积8，只要求出怎样求重叠部分的面积9，问题就解决了。所以，本题的关键就是求出怎样求重叠部分的面积10的长。

解：连结AE，作EF∥AD

∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形怎样求重叠部分的面积1

怎样求重叠部分的面积11

∵EF∥AD

1＝4

1＝2

EF＝AF

设怎样求重叠部分的面积4，则怎样求重叠部分的面积12

根据勾股定理，怎样求重叠部分的面积13

怎样求重叠部分的面积14

即怎样求重叠部分的面积15

怎样求重叠部分的面积16

例2. 如图3，正方形ABCD的面积为S，对角线相交于点O，点O是正方形怎样求重叠部分的面积17的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形怎样求重叠部分的面积17绕点O转动时，

怎样求重叠部分的面积18

图3

（1）求两个正方形重叠部分的面积。

（2）如果正方形怎样求重叠部分的面积17的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积等于多少？与上述结论是否一致？

（3）将正方形怎样求重叠部分的面积17改为怎样求重叠部分的面积19，只要满足什么条件，重叠部分的面积不变？

（4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形怎样求重叠部分的面积20绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，问扇形怎样求重叠部分的面积20应满足什么条件？并且说明你的理由。

（1）解：∵ABCD为正方形

OA＝OB，ACBD

1＝2＝45

3＋BOE＝90

∵怎样求重叠部分的面积17是正方形

BOE＋4＝90

3＝4

△AOE≌△BOF

怎样求重叠部分的面积21

两个正方形重叠部分的面积怎样求重叠部分的面积22

（2）如果正方形怎样求重叠部分的面积17的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积仍然等于怎样求重叠部分的面积23与上述结论一致。因为求解的过程没有任何改变。

（3）将正方形怎样求重叠部分的面积17变为怎样求重叠部分的面积19，只要满足怎样求重叠部分的面积24，并且怎样求重叠部分的面积25与正方形ABCD没有交点，那么求重叠部分的面积的方法与上面的方法一样，所以重叠部分的面积不改变。

（4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形怎样求重叠部分的面积20绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，扇形怎样求重叠部分的面积20应满足的条件是：

怎样求重叠部分的面积26，且怎样求重叠部分的面积27

类似上面的方法，容易证明△BOE≌△COF（如图4）。

所以重叠部分的面积怎样求重叠部分的面积28，而且保持不变。

怎样求重叠部分的面积29

图4

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