教程研究《美国高中数学核心概念图》

美国高中数学核心概念图

人民教育出版社 宋莉莉 章建跃（通讯作者） 王 嵘 华东师范大学数学系 周 丹

摘 要：数学核心概念的确立、组织和呈现方式反映了一个国家数学课程、教材的主要特点。从美国数学课程标准中析出高中核心概念集，结合课程标准的解释性文件，以教科书内容结构为线索绘制核心概念图，探讨了美国数学课程、教材在构建核心概念体系上的主要特点，并对我国高中数学课程、教材建设提出建议。

关键词：核心概念，概念图，高中数学，美国

目前，数学核心概念在数学课程中的重要性已引起国际数学教育界的关注。围绕核心概念的研究有三个基本问题：（1）怎样的概念具有“核心”地位；（2）哪些是核心概念；（3）核心概念是如何组织和呈现的。对于问题（1），国际上已有许多研究成果，人民教育出版社中学数学室牵头的“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题也进行了较深入的探讨。本文将以美国高中数学课程为例，讨论问题（2）和问题（3）。

美国国家数学教师理事会（NCTM）2000年发布的《学校数学教育的原则和标准》^[1]（下文简称《原则和标准》）明确提出了“数与运算”“代数”“几何”“度量”和“数据分析与概率”五个领域的内容标准，旨在设立面向所有学生的课程核心^[2]。2009年，NCTM又出版了《高中数学的焦点：推理和数学意识》（Focus in High School Mathematics : Reasoning and Sense Making^[3]），探讨了《原则和标准》中高中阶段内容的焦点，将推理和数学意识作为高中数学课程的核心，希望以此来贯穿高中阶段所有内容的学习和教学。本文在研究《原则和标准》中9～12年级的内容标准，参考《高中数学的焦点：推理和数学意识》（下文简称《高中焦点》）以及美国芝加哥大学编写的UCSMP（University of Chicago School Mathematics Project）系列教科书（此套教科书体现了《原则和标准》的各项标准和教育理念）的基础上，试图析出一个美国高中数学的“核心概念图”，并探讨美国数学课程、教材在处理核心概念上的特点，以期为我国高中数学的课程设置、教材建设提供有益的参考。

一、美国高中数学核心概念集

核心概念集是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系^[4]，为了获得各领域的核心概念及其子概念，我们先对《原则和标准》中9～12年级五个领域的内容标准分别绘制了概念图，以明确概念之间的层次和联系。

概念图（Concept Map）是20世纪60年代美国康奈尔大学的诺瓦克(Joseph D.Novak)教授等根据奥苏贝尔(David P. Ausubel)的有意义学习理论提出的一种教学策略，其基本思路是用节点代表概念，用连线表示概念间的联系。这样就实现了以科学命题的形式显示概念之间的意义联系，从而把所有的基本概念有机地联系起来（梁竹，2010）。我们按照下面的步骤绘制概念图：

1.列举知识点。这里选取各领域中的基本知识作为绘制概念图的节点。（注：这里所说的“基本知识”内容很广泛，包括概念、技能和思想方法等，基本知识的维度也不同，如“复数”与“整数间的关系”两个维度的知识可能同时被析出。用于描述基本知识的关键词是标准当下界定的具体知识点，如“度量”标准中“应用‘逐次逼近’‘上下界’‘极限’等概念”，说明本学段的重点不在于认识这些概念本身，而是在度量情境中使用它们。）

2.确定知识等级。根据知识的概括性和包容性确定知识的等级，按照从上位到下位逐渐分化的原则对知识进行分层。（注：每个知识点在概念图中只能出现一次。）

3.建立层级连接。用线条将相关概念连接起来，这种连接可以是建立在同一模块间的连接，也可以是建立在不同模块间的交叉连接。连线类型一般为单向，表示同一模块概念间的上下位从属关系或概念间的相关关系，必要时在连线上用连接词标明概念之间的关系。

在概念图中，我们规定领域名称（如图1中的“代数”）为“根”概念，属于第0层，与根概念直接连接的概念为第1层的概念。由于第1层的概念在概括性和包容性上是最高的，我们将其作为该领域的核心概念；与核心概念直接连接的概念，则看成由核心概念生长出的子概念。表1是完成上述步骤1、2而析出的五个领域的核心概念及其子概念集，我们将其作为美国高中数学核心概念集，它呈现了美国高中数学核心概念的纵向发展脉络。

表1 美国高中数学核心概念集

二、美国高中数学核心概念图

核心概念的强大生长力和深刻的思想性，决定了它必然具有内容的丰富性、联系的广泛性、表现方式的多样性和育人功能的全面性等特点^[4]。为了进一步了解美国高中数学核心概念的发展脉络和联系通道，我们以《高中焦点》确定的《原则和标准》中的关键元素（key elements）为依据，并以UCSMP系列教科书内容结构为线索，重点探究了三个领域中概念的纵向发展主线和横向联系点，希望从中析出核心概念的关系网络，并绘出三个领域的核心概念图。由于“数与运算”和“度量”领域的内容不是美国高中数学的重点内容，我们重点对“代数”“几何”和“数据统计与概率”三个领域进行了分析，与此相关的教科书是Advanced Algebra^[5]，Geometry ^[6]和Functions，Statistics，and Trigonometry ^[7]。

（一）代数领域核心概念图

图1是美国高中代数领域的核心概念图。由图可见，整个代数领域的概念构成了一张纵横交错的网，这张网中有4个明显的节点——“代数符号”“函数”“数学模型”和“各种情境中的变化关系”，其中“函数”处于整张网的核心位置。由函数生成了4个子概念，这些子概念通过各种通道与其他核心概念及其子概念，以及其他领域产生联系。具体表现为：

1. 关系和函数^①这个子概念说明美国高中数学将函数定位为一种特殊的关系，而由其中的“二次关系”出发讨论二次曲线和二次曲线的分类^[5]，体现了代数与几何的联系。

2. 函数的各种表征形式^②显示函数主要包括三种表征形式——符号、表格和图象，美国课程关注的用显示方式或递归方式定义的函数归纳模式属于函数的符号表征。而函数的符号表征与代数表达式和方程具有等价形式，这表明了函数与代数符号^⑤的联系。这种等价形式也使得解方程成为“已知函数值求相应的自变量的值”的过程，并且为借助函数图象求解部分方程、方程组和不等式组等成为可能。函数的图象表征还可以用于理解逼近和变化率等概念，为分析变化关系提供了手段，而各种情境中的变化关系^⑥中主要涉及两种变化关系，直接变化和反向变化^[5]，它们都是函数关系，其中的反向变化关系是构建逆变化模型^[5]的基础。在函数的各种表征形式^②中还特别关注了二次函数的各种表征，其中涉及的二次函数知识被应用于构建二次模型，体现了函数与数学模型^⑦的联系。

3. 函数的变换^③主要包括算术合成、复合和求逆，函数符号的使用使得这些变换的形式表示成为可能。例如，函数的四则运算可以表示为f±g，f·g和f /g，从而体现了函数与代数符号^⑤的联系。  

4. 函数的性质^④包括多项式函数、有理函数、对数函数、周期函数、一次函数和指数函数的性质，其中一次函数、周期函数和指数函数的知识分别为构建线性模型和指数模型提供了基础，体现了函数与数学模型^⑦的联系。

此外，美国高中阶段代数领域概念的发展中还反映出两条主线：一是“代数表达式→作为关系的函数→作为对象的函数^[8]”，这条主线蕴含于用符号代数表征和解释数学关系^⑧、关系和函数^①、函数的变换^③等概念中；二是运算贯穿整个代数领域，算术的运算法则和运算性质也是进行符号运算，以及方程、不等式和函数运算的依据，主要体现于用符号代数表征和解释数学关系^⑧，代数不等式、方程、不等式及关系的等价形式和意义^⑨，评价和识别符号运算的结果、意义、作用及合理性^⑩，解方程、不等式和方程组¹¹，以及函数的变换^③等概念中。在代数符号^⑤这个核心概念的子概念中，则体现了代数与几何的一个联系点：评价和识别符号运算的结果、意义、作用及合理性^⑩包含了“几何情境代数化，代数情境几何化，利用代数和几何的联系解决问题^[3]”的推理。例如，利用面积模型解方程x²+10x=144^[3]。

图1 美国高中代数领域核心概念图

（二）几何领域核心概念图

图2是美国高中几何领域的核心概念图。可以发现，美国高中阶段的几何内容具有以“二维和三维几何图形”为对象，通过直观描绘、数学推理、坐标方法、变换等多种手段研究几何对象的特点。在核心概念的组织上，则呈现出两条明显的主线和三个联系点。

1．几何领域核心概念的发展主线

主线1：提出假设^①→用演绎支持假设的可靠性^②

提出假设^①的过程是“通过分析平面或空间中的构造和对几何关系进行归纳性推理^[3]”，提出的假设包括二维和三维空间中物体的性质和特点，以及不同几何物体之间的关系。

用演绎支持假设的可靠性^②指的是“构建和评价关于图形及其性质的推理式命题（正式的和非正式的），帮助理解几何情境”^[3]，用演绎推理支持的结论同样包括二维和三维空间中物体的性质和特点以及不同几何物体之间的关系；用演绎支持假设的可靠性^②还包含用坐标检验对二维和三维空间中物体的假设^③，如推出两点间距离公式、圆的方程、线段中点公式^[6]等。

提出假设^①包含了归纳推理^④过程，用演绎支持假设的可靠性^②包含了演绎推理^⑤过程，Geometry ^[6]中还强调公理化体系^⑥内的演绎，例如引入欧氏几何中的公设，指出“好的定义”的条件，以及“数学推理的基础是使用定义、公设和定理证明结论”^[6]。因此本条主线中隐含了由归纳推理^④到演绎推理^⑤再到构建公理化体系^⑥的过程。

主线2：用变换^⑦理解和证明图形的性质和关系

变换包括平移变换、旋转变换、反射变换、伸缩变换和简单变换及其复合，其中平移、反射、旋转和滑动反射（平移和反射的复合）是等距变换。在美国高中几何课程中，变换被作为理解和证明图形性质和关系的有效手段。具体表现为以下三个方面：

（1）等距变换可以用来定义全等图形——“当且仅当两个图形由等距变换（平移、反射、旋转、滑动反射）联系起来时，它们是全等图形”，证明两个图形全等，还可以用来证明图形的性质，例如可以用反射变换证明线段的垂直平分线的性质^[6]。

（2）等距变换可以用来定义对称图形——“当且仅当存在一条直线m使得r_m(F)=F时，平面图形F是反射对称图形”，“当且仅当存在一个旋转度数在0°和360°之间的旋转变换R使得R(F)=F时，平面图形F是旋转对称图形”，证明一个图形是对称图形（例如等腰三角形、筝形、等腰梯形、平行四边形），从而推出图形的性质^[6]。

（3）伸缩变换和反射变换的组合可以用来定义和证明相似图形。

2．几何领域核心概念与其它领域的联系点

从图2可以看到，美国高中几何课程、教材不仅注重数学内部概念之间的联系性，而且注重几何与其它学科、现实世界的联系，具体联系点有如下三个：

（1）用坐标检验对二维和三维空间中物体的假设^③体现了代数与几何的联系；

（2）使用几何模型^⑧解决其他数学领域、学科和现实世界的问题体现了几何与数学领域、学科和现实世界的联系；

（3）用草图、坐标、向量、函数记号以及矩阵理解和表示^⑨平面上物体的变换，体现了变换与坐标、向量、函数和矩阵的联系。

图2 美国高中几何领域核心概念

（三）数据分析与概率领域核心概念图

图3是美国高中数据分析与概率领域的核心概念图。图中显示了数据分析是由4个要素组成的过程，即提出用数据表达的问题^①→收集、组织、展示数据^②→分析数据^③→推理、预测^④。《高中焦点》认为，贯穿这个过程的主线是对数据变异（variation in data）的推理和数学意识。具体说来，提出用数据表达的问题^①是用对一个或多个变量的观察或测量的数据表达问题，数据的变异性表现在对同一个变量的不同观测可能取不同的值；收集、组织、展示数据^②要用对表述问题有意义的方式收集和总结数据；分析数据^③指的是总结和描述变异性中的模式和关系，并估计模式的误差；最后，推理、预测^④要以承认随机变异性的方式推断结论^[3]。

此外，数据分析与概率领域的核心概念图中还反映了两个联系点。一是概率的概念^⑤为数据分析提供了理论依据，具体体现在收集、组织、展示数据^②中，“通过在数据收集中植入随机性，概率为分析从一个样本到另一个样本的变异性提供了一种途径^[3]”；在分析数据^③中，“一个样本统计量的样本分布（例如样本的均值、众数、样本中事件发生的频数或频率）总结了统计量在反复随机抽样中的长期行为”^[3]；在推理、预测^④中，“样本分布提供了一种描述样本统计量的预期变异性，以及决定一个观察数据是否从机会变异性的角度是合理的，或者更可能受到其他因素的影响的结构”^[3]。二是用直线、指数模型、二次模型、多项式，直接变化和反向变化模型模拟双变量情形中的趋势^⑥，表明函数在数据处理中的应用。

图3 美国高中数据分析与概率领域核心概念图

三、结论与启示

以上我们得到了美国高中数学代数、几何、数据分析与概率等三个领域的核心概念图。概念图中既呈现了每个核心概念的纵向发展主线，又显示了概念间的横向联系。可以说，每个概念图都是一个主线明确、联系通道顺畅的网状体系,而且不同领域的概念图也通过一些联系点表明相互之间的联系。由此可见，美国高中数学的三个领域在核心概念的处理上都有鲜明的特色，值得我国在高中数学课程、教材的研究、编写中参考。

1.美国高中数学在构建代数领域的知识体系时，选取“函数”为核，将整个领域的知识组织成以“函数”为核心的辐射状的网络体系，并以“函数”的某些子概念与其他领域知识的联系为载体，发展不同领域间的联系；同时，以运算贯穿整个代数领域，用由算术的运算法则和运算性质发展而来的代数性质统辖符号运算、方程和不等式以及函数的运算。这样的知识体系，充分发挥了核心概念的强大组织功能，借助核心概念的自我生长能力和有力的联系纽带作用，把数学知识组织成为纵向综合贯通、横向紧密联系的网络结构，知识之间的逻辑关系比较清晰，不同领域知识的联系也比较明确，非常有利于学生了解知识的发展脉络，有利于学生自主学习。相比之下，我国目前高中数学课程采取“模块化”方式组织，对概念的逻辑组织和不同领域知识的联系都有不利影响。借鉴美国的经验，以及我国高中数学课程标准及其教材在十年实施中发现的问题，我们应该对“模块化”的课程结构进行实事求是的调整。

⒉众所周知，在几何领域，美国“新数运动”后的数学课程似乎走了“欧几里得滚蛋”的路线，给人的印象是美国中学数学课程不注重公理化思想，不强调逻辑推理，甚至连欧氏几何都不要了。我国世纪之交开始的数学课程改革，也呈现出降低平面几何、立体几何的要求，强调合情推理、降低演绎推理要求的倾向，强调逻辑推理、双基等几乎成了落后的代名词。但上述研究发现，美国课程以“变换”为核心概念，贯穿图形的性质和关系的学习，在推理能力的培养中构建了由归纳推理到演绎推理再到公理化体系的发展主线，说明美国的数学课程不是不要欧氏几何，而是注重了用现代化的数学方法（特别是变换的思想和方法）处理传统内容，在推理能力、公理化思想这样一些涉及“数学的命脉”^[9]的问题上，丝毫没有放松、降低要求的倾向。这样的做法值得我们警醒。

⒊ 统计与概率一直是我国中学数学课程、教材的“弱项”，因此也成为我国近年来中学数学课程改革的重点，主要特点是新增了大量数据分析的内容，也增加了一些概率模型的知识。美国的概率统计课程已有多年的历史，在该领域的课程设置和教育教学研究上都处于世界领先水平。从美国高中阶段对概率统计内容的编排上可以看出，概率的概念作为数据分析的理论依据，贯穿数据分析的整个过程，是数据分析各阶段的思想基础，这就突出了这一内容的“数学味”。因此，在高中阶段的数学课程中，我们应特别关注如何加强统计思想、数据分析观念，使学生掌握基本的数据收集、整理、分析的技能的同时，加强统计与概率的综合，使学生掌握用概率知识研究随机现象的基本方法，并能用于解决一些实际问题等的研究。某种意义上说，在整个中学数学课程中，统计与概率更多地扮演了“联系”、“综合”、“问题解决”、“实际应用”等角色，这样的特点需要关注。可以说，我们在概率统计课程建设上与美国的差距较大，需要作出更大的努力。

注：本文系国家社会科学基金“十一五”规划2010年度教育学重点课题“主要国家高中数学教材比较研究”（课题批准号：AKA100009）子课题“主要国家高中数学教材核心概念、技能及重要思想方法的比较研究” （主持人：章建跃）的阶段性成果。

参考文献：

1.全美数学教师理事会（NCTM）.美国学校数学教育的原则和标准.蔡金法，等译.北京：人民教育出版社，2004.

2.聂必凯，郑庭曜，孙伟，蔡金法.美国现代数学教育改革.北京：人民教育出版社，2010.

3.NCTM.Focus in High School Mathematics: Reasoning and Sense Making. Reston：NCTM，2009.

4.王嵘，章建跃，宋莉莉，周丹.高中数学核心概念教材编写的国际比较——以函数为例.复印中

5.UCSMP.Advanced Algebra.Chicago：The McGraw Hill Companies，2010.

6.UCSMP.Geometry.Chicago：The McGraw Hill Companies，2009.

7.UCSMP.Functions，Statistics，and Trigonometry. Chicago：The McGraw Hill Companies，2010.

8.Usiskin Zalman.中学数学课程发展的九条主线——美国Usiskin教授在泰国APEC会议上的报告.鲁小莉，编译.数学教学，2010(9).

9．伍鸿熙.凤凰涅磐.赵洁，译。数学通报，2012(4).