2017届高考理科数学二轮复习训练：2-3-2 数形结合思想（参考解析）

一、选择题

1.已知实数x，y满足2x－y＋2≥0(x＋y＋1≥0)，若当x＝－1，y＝0时，z＝ax＋y取得最大值，则实数a的取值范围是(  )

A.(－∞，－2]   B．(－2，－1]

C.(2,4)   D．[1,2)

答案 A

解析 画出满足条件的可行域(如图中阴影部分所示)，由题意知直线y＝－ax＋z经过点(－1,0)时，z取得最大值，结合图形可知－a≥2，即a≤－2.故选A.

2.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(  )

A.2(1)   B.，1(1)

C.(1,2)   D．(2，＋∞)

答案 B

解析 在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点A(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故2(1)<k<1.

3.若关于x的不等式3x²＋2ax＋b≤0在区间[－1,0]上恒成立，则a²＋b²－1的取值范围是(  )

A.，＋∞(9)   B.4(9)

C.，＋∞(4)   D.5(4)

答案 C

解析 设f(x)＝3x²＋2ax＋b≤0在区间[－1,0]上恒成立，得f(0)≤0(f(－1)≤0)即

b≤0(3－2a＋b≤0)，把(a，b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据a²＋b²－1的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a＋b＝0的距离的平方减1，即5(4)，所以a²＋b²－1≥5(4)，故选C.

4. 已知全集U＝{x|x≤－1或x≥0}，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x²>1}，则图中阴影部分表示的集合为(  )

A.{x|x>0或x<－1} B.{x|1<x≤2}

C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}

答案 C

解析 解法一：依题意B＝{x|x>1或x<－1}，图中阴影部分表示集合A∩∁_UB，因为U＝{x|x≤－1或x≥0}，所以∁_UB＝{x|x＝－1或0≤x≤1}，又集合A＝{x|0≤x≤2}，所以A∩∁_UB＝{x|0≤x≤1}，故选C.

解法二：依题意A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1或x<－1}，图中阴影部分表示集合A∩∁_UB，因为0∈A,0∉B，故0∈A∩∁_UB，故排除A、B，而2∈A,2∈B，故2∉A∩∁_UB，故排除D，选择C.

5．已知向量a＝ωxcos(1)2(1)ωx，，b＝

ωx－(1)ωx(1)，函数f(x)＝a·b2(π)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将函数g(x)＝sinωx的图象(  )

A.向右平移6(π)个单位长度   B．向右平移12(π)个单位长度

C.向左平移6(π)个单位长度   D．向左平移12(π)个单位长度

答案 C

解析 依题意，f(x)＝a·b＝sin2(1)ωxcos2(1)ωx×2cosφ＋sinφ(cos²2(1)ωx－sin²2(1)ωx)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ＝sin(ωx＋φ)2(π).由图知4(1)T＝12(7π)－3(π)＝4(π)，∴T＝π，又T＝ω(2π)(ω>0)，∴ω＝2，又3(π)×2＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ－3(π)×2(k∈Z)，∴φ＝3(π)，∴f(x)＝sin3(π)，g(x)＝sin2x，∵g6(π)＝sin26(π)＝sin3(π)，∴为了得到f(x)＝sin3(π)的图象，只需将g(x)＝sin2x的图象向左平移6(π)个单位长度．故选C.

6.设F₁、F₂分别是双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F₁的直线l与该双曲线的左支交于A、B两点，且△ABF₂是以B为直角顶点的等腰直角三角形，记双曲线C的离心率为e，则e²＝(  )

A.5－2   B.2(5)＋4(2)

C.5＋2   D.2(5)－4(2)

答案 A

解析 如图，因为过点F₁的直线l与该双曲线的左支交于A、B两点，且△ABF₂是以B为直角顶点的等腰直角三角形，所以可设|BF₂|＝|AB|＝x，所以|AF₁|＝x－|BF₁|＝2a，所以|AF₂|＝4a.因为∠ABF₂＝90°，所以2x²＝16a²，解得|BF₂|＝|AB|＝2a，所以|BF₁|＝2a－2a＝(2－2)a，所以[(2－2)a]²＋(2a)²＝(2c)²，即(2－2)²·a²＋8a²＝4c²，所以e²＝a2(c2)＝5－2.

二、填空题

7.已知函数f(x)＝sinπx，x>0，(x2－4x，x≤0，)若f(x)－ax≥－1，则实数a的取值范围是________．

答案 [－6,0]

解析 依题意得f(x)≥ax－1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)与y＝ax－1(该直线过定点(0，－1)、斜率为a)的图象，如图所示．设直线y＝ax－1与曲线y＝x²－4x(x≤0)相切于点(x₀，y₀)，则有－4x0＝ax0－1(2)，解得x₀＝－1，a＝－6.结合图形可知，实数a的取值范围是[－6,0].

8.已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，(c－a)·(c－b)＝0，则c·a的最大值是________．

答案 5

解析 依题意得|a||b|cos〈a，b〉＝2，即cos〈a，b〉＝2(1)，〈a，b〉＝3(π).作→(OA)＝a，→(OB)＝b，→(OC)＝c，则由(c－a)·(c－b)＝0得(→(OC)－→(OA))·(→(OC)－→(OB))＝→(AC)·→(BC)＝0，点C位于以线段AB为直径的圆上，易知△AOB为等边三角形，如图所示．因为c·a＝|c||a|cos 〈c，a〉＝2|c|·cos 〈c，a〉，所以c·a的最大值即是向量→(OC)在向量→(OA)方向上的投影的最大值．设圆心为M，过点M作MD⊥OA，垂足为D，则当圆M在点C处的切线平行于MD时，向量→(OC)在向量→(OA)方向上的投影最大，设此时点C处的切线与OA的延长线交于点E.由△AOB为等边三角形可知，∠BAO＝3(π)，所以|AD|＝2(1)，故|OD|＝2－2(1)＝2(3)，所以投影的最大值为|OE|＝2(3)＋1＝2(5)，故c·a的最大值为2(5)×2＝5.

9.若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.

答案 

解析 令y₁＝，y₂＝k(x＋2)－，在同一个坐标系中作出其图象，因≤k(x＋2)－的解集为[a，b]且b－a＝2.

整合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)．∴k＝1＋2(2)＝.

三、解答题

10.[2015·陕西高考改编]设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率是多少？

解 

复数|z|≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为4(1)π－2(1)×1×1＝4(1)π－2(1)，故满足y≥x的概率为4(1)－2π(1).

11.[2015·课标全国卷Ⅱ改编]已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为多少？

解 设双曲线方程为a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程a2(x2)－b2(y2)＝1，得a＝b，所以e＝.

12．设函数f(x)＝x²＋aln (x＋2)，且f(x)存在两个极值点x₁、x₂，其中x₁<x₂.

(1)求实数a的取值范围；

(2)若f(x₁)>mx₂恒成立，求m的最小值．

解 (1)由题可得f′(x)＝2x＋x＋2(a)(x>－2)．

∵函数f(x)存在两个极值点x₁、x₂，且x₁<x₂，

∴关于x的方程2x＋x＋2(a)＝0，即2x²＋4x＋a＝0在(－2，＋∞)内有两个不等实根．

令S(x)＝2x²＋4x(x>－2)、T(x)＝－a，则结合图象可得－2<－a<0，即0<a<2，∴实数a的取值范围是(0,2)．

(2)由(1)知－1<x2<0(x1＝－2－x2)，问题转化为x2(f(x1))<m恒成立，

x2(f(x1))＝x2(＋aln (x1＋2))＝x₂＋x2(4)－2(x₂＋2)ln (－x₂)＋4.

令－x₂＝x，

则0<x<1且x2(f(x1))＝－x－x(4)＋2(x－2)ln x＋4，

令F(x)＝－x－x(4)＋2(x－2)ln x＋4(0<x<1)，

则F′(x)＝－1＋x2(4)＋2ln x＋x(2(x－2))＝x2(4)－x(4)＋2ln x＋1(0<x<1)，

令g(x)＝F′(x)，则g′(x)＝－x3(8)＋x2(4)＋x(2)＝x3(2(x2＋2x－4))＝x3(2[(x＋1)2－5])，

∵0<x<1，

∴g′(x)<0，即F′(x)在(0,1)上是减函数，

∴F′(x)>F′(1)＝1>0，

∴F(x)在(0,1)上是增函数，

∴F(x)<F(1)＝－1，即x2(f(x1))<－1，

要使x2(f(x1))<m恒成立，则m≥－1，

∴m的最小值为－1.