2017届高考理科数学二轮复习训练：2-1-2 三角函数、平面向量（参考解析）

1.已知平面向量a，b满足：a＝(1，－2)，|b|＝2，a·b＝－10，则向量b的坐标是(  )

A.(2，－4)   B．(－2,4)

C.(1,2)   D．(－1,2)

答案 B

解析 由题意知|a|＝，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ＝10cosθ＝－10，cosθ＝－1，θ＝π，又|b|＝2|a|，因此b＝－2a＝(－2,4).

2.已知向量a，b，且|a|＝，a与b的夹角为6(π)，a⊥(2a－b)，则|b|＝(  )

A.2   B．4

C.   D．3

答案 B

解析 解法一：由a⊥(2a－b)知，a·(2a－b)＝2a²－a·b＝0，故a·b＝2a²＝2×()²＝6，a·b＝|a|×|b|cos〈a，b〉＝×|b|×cos6(π)＝6，解得|b|＝4.故选B.

解法二：如图，作→(OA)＝a，→(OB)＝b，〈a，b〉＝6(π)，作→(OC)＝2a，则→(BC)＝2a－b.由a⊥(2a－b)可知，OC⊥BC.在Rt△OCB中，OC＝2|a|＝2，cos〈a，b〉＝OB(OC)＝|b|(3)＝2(3)，解得|b|＝4.故选B.

3.[2015·西安八校联考]若函数y＝cos6(π)(ω∈N^*)图象的一个对称中心是，0(π)，则ω的最小值为(  )

A.1   B．2

C.4   D．8

答案 B

解析 6(πω)＋6(π)＝kπ＋2(π)(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ω_min＝2，故选B.

4.[2015·河北五个一名校联盟]已知θ∈(0，π)，且sin4(π)＝10(2)，tan2θ＝(  )

A.3(4)   B.4(3)

C.－7(24)   D.7(24)

答案 C

解析 由sin4(π)＝10(2)得2(2)(sinθ－cosθ)＝10(2)，sinθ－cosθ＝5(1).

解方程组5()，得5(3)或5(4).

因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以5(4)不合题意，舍去，所以tanθ＝3(4)，所以tan2θ＝1－tan2θ(2tanθ)＝2(4)＝－7(24)，故选C.

5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则经过点P(φ，0)，斜率为A的直线的方程为(  )

A.y＝4(3π)

B.y＝4(π)

C.y＝3(π)

D.y＝3(2π)

答案 A

解析 由题中图象可知，三角函数的最小正周期T满足2(T)＝4(π)－12(π)＝3(π)，则T＝3(2π)，则ω＝3，又3×12(π)＋φ＝2(π)＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝4(3π)＋2kπ(k∈Z)，又0<φ<π，故φ＝4(3π)，又Asin4(3π)＝1，解得A＝，故所求直线的方程为y＝4(3π)，选A.

6.已知点P是△ABC内一点，且→(BA)＋→(BC)＝6→(BP)，则S△ACP(S△ABP)＝(  )

A.2(1)   B.3(1)

C.4(1)   D.5(1)

答案 C

解析 设点D为AC的中点，在△ABC中，→(BA)＋→(BC)＝2→(BD)，即2→(BD)＝6→(BP)，所以→(BD)＝3→(BP)，即P为BD的三等分点，所以S△APD(S△ABP)＝2(1)，又S△APC(S△APD)＝2(1)，所以S△ACP(S△ABP)＝4(1).

7.将函数f(x)＝2cos²x－2sinxcosx－的图象向左平移t(t>0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为(  )

A.3(2π)   B.6(π)

C.2(π)   D.3(π)

答案 B

解析 由题意知，f(x)＝cos2x－sin2x＝2cos6(π)，将f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x)＝2cos6(π)，又g(x)为奇函数，所以2t＋6(π)的最小值为2(π)，解得t_min＝6(π).选B.

8.[2015·大连双基]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(  )

A.6(π)   B.3(π)

C.3(2π)   D.6(5π)

答案 C

解析 在直角三角形中，如果直角边为斜边的一半，则该直角边所对的角为6(π)，如图，所求的夹角为3(2π)，故选C.

9.已知向量a＝(2,3)，b＝(x，－2)，且a与2a－b共线，则实数x的值为________．

答案 －3(4)

解析 解法一：因为向量a与2a－b共线，所以2a－b＝ka(k∈R)，则(4－x,8)＝k(2,3)，可得方程组8＝3k(4－x＝2k)，消去k，解得x＝－3(4).

解法二：2a－b＝(4－x,8)，由向量a与2a－b共线，可得2×8＝3×(4－x)，解得x＝－3(4).

10.若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f4(π)＝f12(π)，则函数f(x)图象的对称轴为________．

答案 x＝2(kπ)＋12(π)(k∈Z)

解析 易知函数f(x)的最小正周期为π，而f4(π)＝f12(π)，所以f(x)图象的一条对称轴为x＝12(π)，故函数f(x)图象的对称轴为x＝2(kπ)＋12(π)(k∈Z).

11.已知函数f(x)＝2sin3(π)cosx＋sinxcosx＋sin²x(x∈R)．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，B为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝，M为BC边的中点，AM＝2，求a＋c的最大值．

解 (1)f(x)＝23()cosx＋sinxcosx＋sin²x＝2sinxcosx－(cos²x－sin²x)＝sin2x－cos2x＝2sin3(π).

由－2(π)＋2kπ≤2x－3(π)≤2(π)＋2kπ，得－12(π)＋kπ≤x≤12(5π)＋kπ(k∈Z)．

∴f(x)单调递增区间是π(5)，k∈Z.

(2)由f(B)＝，得sin3(π)＝2(3).又0<B<2(π)，则－3(π)<2B－3(π)<3(2π)，从而2B－3(π)＝3(π)，∴B＝3(π).

设∠BAM＝θ，其中0<θ<3(2π)，由正弦定理可得3(π)＝3(π)＝sinθ(a)，

∴c＝4sin3(π)，a＝8sinθ，

∴a＋c＝8sinθ＋4sin3(π)＝8sinθ＋2sinθ＋2cosθ＝10sinθ＋2cosθ＝4sin(θ＋φ)≤4.

∵θ＋φ可以取到2(π)，∴a＋c的最大值为4.

12.[2015·辽宁五校联考]已知函数f(x)＝2cos²x－sin6(7π).

(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；

(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2(3)，b＋c＝2.求实数a的取值范围．

解 (1)f(x)＝2cos²x－sin6(7π)

＝(1＋cos2x)－6(7π)

＝1＋2(3)sin2x＋2(1)cos2x

＝1＋sin6(π).

∴函数f(x)的最大值为2.

当且仅当sin6(π)＝1，即2x＋6(π)＝2kπ＋2(π)，k∈Z，即x＝kπ＋6(π)，k∈Z时取到．

∴函数取最大值时x的取值集合为

，k∈Z(π).

(2)由题意，f(A)＝sin6(π)＋1＝2(3)，

化简得sin6(π)＝2(1).

∵A∈(0，π)，∴2A＋6(π)∈6(13π)，∴2A＋6(π)＝6(5π)，

∴A＝3(π).

在△ABC中，a²＝b²＋c²－2bccos3(π)＝(b＋c)²－3bc.

由b＋c＝2，知bc≤2(b＋c)²＝1，即a²≥1，当b＝c＝1时取等号．

又由b＋c>a得a<2，∴a的取值范围是[1,2).