2017届高考理科数学二轮复习训练：题型突破练——压轴题专练（参考解析）

题型突破练——压轴题专练

压轴题专练(一)

建议用时：40分钟

1．[2015·辽宁三校联考(二)]设F是抛物线C∶y²＝4x的焦点，P是C上一点，斜率为－1的直线l交C于不同两点A，B(l不过P点)，且△PAB重心的纵坐标为－3(2).

(1)记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁＋k₂的值；

(2)求|FA|(1)＋|FB|(1)的最大值．

解 (1)设直线l的方程为：y＝－x＋b，将它代入C∶y²＝4x得：x²－2(b＋2)x＋b²＝0，当Δ＝16(b＋1)＞0时，令A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝2(b＋2)，x₁x₂＝b²，y₁＋y₂＝－(x₁＋x₂)＋2b＝－2(b＋2)＋2b＝－4，

因为△PAB重心的纵坐标为－3(2).所以y₁＋y₂＋y_p＝－2，所以，y_p＝2，x_p＝1.

k₁＋k₂＝x1－1(y1－2)＋x2－1(y2－2)＝(x1－1)(x2－1)((y1－2)(x2－1)＋(y2－2)(x1－1))，(y₁－2)(x₂－1)＋(y₂－2)(x₁－1)

＝ [－x₁＋(b－2)](x₂－1)＋[－x₂＋(b－2)](x₁－1)

＝－2x₁x₂＋(b－1)(x₁＋x₂)－2(b－2)

＝－2b²＋2(b－1)(b＋2)－2(b－2)

＝0，所以k₁＋k₂＝0.

(2)|FA|(1)＋|FB|(1)＝x1＋1(1)＋x2＋1(1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1(x1＋x2＋2)＝b2＋2b＋5(2(b＋3))，

由Δ＝16(b＋1)＞0得b＞－1，又l不过P点，则b≠3.

令t＝b＋3，则t＞2且t≠6.

|FA|(1)＋|FB|(1)＝(t－3)2＋2(t－3)＋5(2t)

＝t2－4t＋8(2t)＝－4(8)≤－4(8)＝2(2＋1)，

当t＝t(8)，即t＝2，b＝2－3时，|FA|(1)＋|FB|(1)的最大值为2(2＋1).

2．[2015·德阳二诊]已知函数f(x)＝xln x－x＋2(1)x²－3(1)ax³，f′(x)为函数f(x)的导函数．

(1)若F(x)＝f(x)＋b，函数F(x)在x＝1处的切线方程为2x＋y－1＝0，求a、b的值；

(2)若f′(x)≤－x＋ax恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若曲线y＝f(x)上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数a的取值范围．

解 (1)F(x)＝xln x－x＋2(1)x²－3(1)ax³＋b，

F′(x)＝ln x＋x－ax²，

∵切点为(1，－1)，切线斜率为k＝－2，

∴F′(1)＝－2(F(1)＝－1)⇒2()⇒2(1)，

故a＝3，b＝2(1).

(2)f′(x)＝ln x＋x－ax²，

f′(x)≤－x＋ax恒成立⇔当x＞0时，a≥x2＋x(ln x＋2x)恒成立．

令G(x)＝x2＋x(ln x＋2x)(x＞0)，则a≥G(x)_max，

G′(x)＝(x2＋x)2((x2＋x)－(ln x＋2x)(2x＋1))

＝－(x2＋x)2((2x＋1)(x－1＋ln x))，

令g(x)＝x－1＋ln x(x＞0)，g(x)在(0，＋∞)递增，且g(1)＝0，

∴当x∈(0,1)时，x－1＋ln x＜0，G′(x)＞0，

当x∈(1，＋∞)时，x－1＋ln x＞0，G′(x)＜0，

∴G(x)在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，

∴x＝1时，G(x)_max＝1，

∴a≥1.

(3)f′(x)＝ln x＋x－ax²，令g(x)＝f′(x)＝ln x＋x－ax²(x＞0)，

g′(x)＝x(1)＋1－2ax＝x(－2ax2＋x＋1).

令h(x)＝－2ax²＋x＋1(x＞0)，

当a≤0时，h(x)＞0，

∴g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)递增，不适合．

当a＞0时，h(x)的Δ＝1＋8a＞0，设方程h(x)＝0的二根为x₁、x₂，则x₁·x₂＝－2a(1)＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，

∴当x∈(0，x₂)时，g′(x)＞0，

当x∈(x₂，＋∞)时，g′(x)＜0，

∴g(x)在(0，x₂)递增，在(x₂，＋∞)递减，

∴g(x2)＞0(＋x2＋1＝0)⇒＞0(2)②(①)

由①得：ax2(2)＝2(x2＋1)代入②整理得：

2ln x₂＋x₂－1＞0③

∵函数u(x)＝2ln x＋x－1在(0，＋∞)递增，u(1)＝0，

∴由③得：x₂＞1，

由①得：2a＝2(2)＝2(1)²－4(1)，

∵0＜x2(1)＜1，∴0＜2a＜2，

∴0＜a＜1.

3．选做题

(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：

①BE＝EC；

②AD·DE＝2PB².

(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为y＝2＋2sinα(x＝2cosα)(α为参数)，M为C₁上的动点，P点满足→(OP)＝2→(OM)，点P的轨迹为曲线C₂.

①求C₂的参数方程；

②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3(π)与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|.

(3)  [选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋6|(m∈R)．

①当m＝5时，求不等式f(x)≤12的解集；

②若不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

解 (1)证明：①∵PC＝2PA，PD＝DC，∴PA＝PD，△PAD为等腰三角形．

连接AB，则∠PAB＝∠DEB＝β，∠BCE＝∠BAE＝α，

∵∠PAB＋∠BCE＝∠PAB＋∠BAD＝∠PAD＝∠PDA＝∠DEB＋∠DBE，

∴β＋α＝β＋∠DBE，即α＝∠DBE，即∠BCE＝∠DBE，所以BE＝EC.

②∵AD·DE＝BD·DC，PA²＝PB·PC，PD＝DC＝PA，

BD·DC＝(PA－PB)PA＝PB·PC－PB·PA＝PB·(PC－PA)，

PB·PA＝PB·2PB＝2PB².

(2)①设P(x，y)，则由条件知M2(y).由于M点在C₁上，所以＝2＋2sinα(y)，即y＝4＋4sinα(x＝4cosα).

从而C₂的参数方程为

y＝4＋4sinα(x＝4cosα)(α为参数)．

②曲线C₁的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C₂的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

射线θ＝3(π)与C₁的交点A的极径为ρ₁＝4sin3(π)，

射线θ＝3(π)与C₂的交点B的极径为ρ₂＝8sin3(π).

所以|AB|＝|ρ₂－ρ₁|＝2.

(3)①当m＝5时，f(x)≤12即|x－5|＋|x＋6|≤12，

当x＜－6时，得－2x≤13，

即x≥－2(13)，所以－2(13)≤x＜－6；

当－6≤x≤5时，得11≤12成立，所以－6≤x≤5；

当x＞5时，得2x≤11，

即x≤2(11)，所以5＜x≤2(11).

故不等式f(x)≤12的解集为2(11).

②f(x)＝|x－m|＋|x＋6|≥|(x－m)－(x＋6)|＝|m＋6|，

由题意得|m＋6|≥7，则m＋6≥7或m＋6≤－7，解得m≥1或m≤－13，

故m的取值范围是(－∞，－13]∪[1，＋∞)．

压轴题专练(二)

建议用时：40分钟

1．如图，F是椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为2(1)，点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线x＋y＋3＝0相切．

(1)求椭圆的方程；

(2)过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在x轴上是否存在点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

解 (1)由题意可知F(－c,0)，

∵e＝2(1)，∴b＝c，即B(0，c)，

∵k_BF＝0－(－c)(3c)＝，

又∵k_BC＝－3(3)，∴C(3c,0)，

圆M的圆心坐标为(c,0)，半径为2c，

由直线x＋y＋3＝0与圆M相切可得)2(|c＋3|)＝2c，∴c＝1.∴椭圆的方程为4(x2)＋3(y2)＝1.

(2)假设存在满足条件的点N(x_0,0)

由题意可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)

∵NF为△PNQ的内角平分线，

∴k_NP＝－k_NQ，即x1－x0(y1)＝－x2－x0(y2)，

∴x1－x0(k(x1＋1))＝x2－x0(－k(x2＋1))⇒(x₁＋1)(x₂－x₀)＝－(x₂＋1)(x₁－x₀)．∴x₀＝x1＋x2＋2(x1＋x2＋2x1x2).

又＝1(y2)，∴3x²＋4k²(x＋1)²＝12.

∴(3＋4k²)x²＋8k²x＋4k²－12＝0.

∴x₁＋x₂＝－3＋4k2(8k2)，x₁x₂＝3＋4k2(4k2－12).

∴x₀＝3＋4k2(8k2)＝－4，

∴存在满足条件的点N，点N的坐标为(－4,0)．

2．已知函数f(x)＝ln (ax＋1)＋x³－x²－ax.

(1)若x＝3(2)为f(x)的极值点，求实数a的值；

(2)若y＝f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；

(3)若a＝－1时，方程f(1－x)－(1－x)³＝x(b)有实根，求实数b的取值范围．

解 (1)f′(x)＝ax＋1(a)＋3x²－2x－a

＝ax＋1(x [3ax2＋(3－2a)x－(a2＋2)]).

∵x＝3(2)为f(x)的极值点，∴f′(3(2))＝0.

∴3a3(2)²＋3(2)(3－2a)－(a²＋2)＝0且3(2)a＋1≠0，

∴a＝0.

又当a＝0时，f′(x)＝x(3x－2)，

从而x＝3(2)为f(x)的极值点成立，所以a＝0.

(2)因为f(x)在 [1，＋∞)上为增函数，所以ax＋1(x[3ax2＋(3－2a)x－(a2＋2)])≥0在[1，＋∞)上恒成立．

若a＝0，则f′(x)＝x(3x－2)，∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数不成立；

若a≠0，由ax＋1＞0对x＞1恒成立知a＞0.

所以3ax²＋(3－2a)x－(a²＋2)≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，令g(x)＝3ax²＋(3－2a)x－(a²＋2)，其对称轴为x＝3(1)－2a(1)，

因为a＞0，所以3(1)－2a(1)＜3(1)，从而g(x)在[1，＋∞)上为增函数，所以只要g(1)≥0即可，即－a²＋a＋1≥0，所以2(5)≤a≤2(5)，又因为a＞0，所以0＜a≤2(5).

(3)若a＝－1时，方程f(1－x)－(1－x)³＝x(b)可得ln x－(1－x)²＋(1－x)＝x(b)，

即b＝xln x－x(1－x)²＋x(1－x)＝xln x＋x²－x³在x＞0上有解，

即求函数g(x)＝xln x＋x²－x³的值域．

b＝x(ln x＋x－x²)，令h(x)＝ln x＋x－x²，由h′(x)＝x(1)＋1－2x＝x((2x＋1)(1－x))，

∵x＞0，∴当0＜x＜1时，h′(x)＞0，从而h(x)在(0,1)上为增函数；

当x＞1时，h′(x)＜0，从而h(x)在(1，＋∞)上为减函数．

∴h(x)≤h(1)＝0，而h(x)可以无穷小，

∴b的取值范围为(－∞，0]．

3. 选做题

(1)[选修4－1：几何证明选讲]

如图所示，AB为圆O的直径，CD为圆O的切线，切点为D，AD∥OC.

①求证：BC是圆O的切线；

②若AD·OC＝2，试求圆O的半径．

(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：sinθ(2cosθ)(θ为参数)上的点到直线l：ρcos4(π)＝k的距离为d.

①当k＝3时，求d的最大值；

②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．

(3)[选修4－5：不等式选讲]

设f(x)＝|x－3|＋|2x－4|.

①解不等式f(x)≤4；

②若对任意实数x∈ [5,9]，f(x)≤ax－1恒成立，求实数a的取值范围．

解 (1)①证明：如图，连接BD、OD.

∵CD是圆O的切线，∴∠ODC＝90°.

∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠OAD.

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∴∠BOC＝∠DOC.

又∵OC＝OC，OB＝OD，∴△BOC≌△DOC.

∴∠OBC＝∠ODC＝90°，即OB⊥BC.

∴BC是圆O的切线．

②由①知∠OAD＝∠DOC，∴Rt△BAD∽Rt△COD，

∴AB(AD)＝OC(OD).

AD·OC＝AB·OD＝2r×r＝2，∴r＝1.

(2)①由l：ρcos4(π)＝3，得l：ρcosθcos4(π)＋ρsinθsin4(π)＝3，整理得l：x＋y－6＝0.

则d＝2(2sinθ－6|)＝－6()

∴d_max＝2(8)＝4.

②将圆C的参数方程化为普通方程得x²＋y²＝2，直线l的极坐标方程化为普通方程得x＋y－k＝0.

∵直线l与圆C相交，∴圆心O到直线l的距离d<，

即2(|－k|)＜，解得－2＜k＜2.

(3)①当x＜2时，f(x)＝7－3x≤4，得1≤x＜2；

当2≤x≤3时，f(x)＝x－1≤4，得2≤x≤3；

当x＞3时，f(x)＝3x－7≤4，得3＜x≤3(11).

综上可得不等式f(x)≤4的解集为3(11).

②∵x∈[5,9]，∴f(x)≤ax－1即3x－7≤ax－1，

∴a≥3－x(6)，即a≥3－9(6)＝3(7).

压轴题专练(三)

建议用时：40分钟

1．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为2(1)，右焦点到右顶点的距离为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y＝kx＋m(k∈R)，使得|→(OA)＋2→(OB)|＝|→(OA)－2→(OB)|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

解 (1)设椭圆C的方程为a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)，半焦距为c.

依题意e＝a(c)＝2(1)，由右焦点到右顶点的距离为1，得a－c＝1.解得c＝1，a＝2.所以b²＝a²－c²＝3.

所以椭圆C的标准方程是4(x2)＋3(y2)＝1.

(2)存在直线l，使得|→(OA)＋2→(OB)|＝|→(OA)－2→(OB)|成立．理由如下：

由＝1(y2)得(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0.

Δ＝(8km)²－4(3＋4k²)(4m²－12)＞0，化简得3＋4k²＞m².

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝－3＋4k2(8km)，x₁x₂＝3＋4k2(4m2－12).

若|→(OA)＋2→(OB)|＝|→(OA)－2→(OB)|成立，

即|→(OA)＋2→(OB)|²＝|→(OA)－2→(OB)|²，等价于→(OA)·→(OB)＝0.

所以x₁x₂＋y₁y₂＝0，

x₁x₂＋(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝0，

(1＋k²)x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝0，

(1＋k²)·3＋4k2(4m2－12)－km·3＋4k2(8km)＋m²＝0，

化简得，7m²＝12＋12k².

将k²＝12(7)m²－1代入3＋4k²＞m²中，3＋4m2－1(7)＞m²，解得m²＞4(3).

又由7m²＝12＋12k²≥12，m²≥7(12)，

从而m²≥7(12)，m≥7(2)或m≤－7(2).

所以实数m的取值范围是21(2)∪，＋∞(2).

2．已知f(x)＝x²－ax，g(x)＝ln x，h(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)若h(x)的单调减区间是，1(1)，求实数a的值；

(2)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设h(x)有两个极值点x₁，x₂，且x₁∈2(1)，若h(x₁)－h(x₂)＞m恒成立，求m的最大值．

解 (1)由题意得h(x)＝x²－ax＋ln x，(x＞0)，则h′(x)＝x(2x2－ax＋1)(x＞0)，

要使h(x)的单调减区间是，1(1)，

则h′(1)＝h′2(1)＝0，解得a＝3；

另一方面当a＝3时h′(x)＝x(2x2－3x＋1)＝x((2x－1)(x－1))(x＞0)，

由h′(x)＜0解得x∈，1(1)，

即h(x)的单调减区间是，1(1).

综上所述a＝3.

(2)由题意得x²－ax≥ln x(x＞0)，

∴a≤x－x(ln x)(x＞0)．

设φ(x)＝x－x(ln x)(x＞0)，

则φ′(x)＝x2(x2＋ln x－1).

∵y＝x²＋ln x－1在(0，＋∞)上是增函数，且x＝1时，y＝0.

∴当x∈(0,1)时φ′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时φ′(x)＞0，

∴φ(x)在(0,1)内是减函数，在(1，＋∞)内是增函数．

∴φ_min＝φ(1)＝1，∴a≤φ_min＝1，即a∈(－∞，1]．

(3)由题意得h(x)＝x²－ax＋ln x(x＞0)，

则h′(x)＝x(2x2－ax＋1)(x＞0)，

∴方程2x²－ax＋1＝0(x＞0)有两个不相等的实根x₁，x₂，且x₁∈2(1).

又∵x₁x₂＝2(1)，∴x₂＝2x1(1)∈(1，＋∞)，

且ax₁＝2x1(2)＋1，ax₂＝2x2(2)＋1，

而h(x₁)－h(x₂)＝(x1(2)－ax₁＋ln x₁)－(x2(2)－ax₂＋ln x₂)＝[x1(2)－(2x1(2)＋1)＋ln x₁]－[x2(2)－(2x2(2)＋1)＋ln x₂]＝x2(2)－x1(2)＋lnx2(x1)＝x2(2)－2(2)－ln 2x2(2)(x₂＞1)．

设φ(x)＝x²－4x2(1)－ln 2x²(x＞1)，

则φ′(x)＝2x3((2x2－1)2)＞0(x＞1)，

∴φ(x)在(1，＋∞)内是增函数，

∴φ(x₂)＞φ(1)＝4(3)－ln 2，

即h(x₁)－h(x₂)＞4(3)－ln 2，

∴m≤4(3)－ln 2，∴m的最大值为4(3)－ln 2.

3．选做题

(1)[选修4－1：几何证明选讲]

如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，BC＝3，CD＝5.求对角线BD、AC的长．

(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]

已知直线l的参数方程为3()(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin4(π)，直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P.

①求曲线C的直角坐标方程；

②求|PA|(1)＋|PB|(1)的值．

(3)[选修4－5：不等式选讲]

已知实数m，n满足：关于x的不等式|x²＋mx＋n|≤|3x²－6x－9|的解集为R.

①求m，n的值；

②若a，b，c∈R^＋，且a＋b＋c＝m－n，求证：＋＋≤.

解 (1)如图，延长DC，AB交于点E.

∵∠BAD＝60°，∴∠ECB＝60°，

∵∠ABC＝90°，BC＝3，CD＝5，

∴∠EBC＝90°，∴∠E＝30°，

∴EC＝2BC＝2×3＝6，∴EB＝BC＝3，

∴ED＝DC＋EC＝5＋6＝11，

∵EC×ED＝EB×(EB＋AB)，

则6×11＝3×(3＋AB)，解得AB＝3(3)，

∴AC＝2(3)＝3(3).

∵∠EDB＝∠EAC，∠E＝∠E，

∴△EDB∽△EAC，∴AC(BD)＝CE(BE)，

∴BD＝CE(AC·BE)＝3()＝7.

(2)①利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ＝2sin4(π)化为ρ²＝2ρsinθ＋2ρcosθ，

∴普通方程是x²＋y²＝2y＋2x，

即(x－1)²＋(y－1)²＝2.

②∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，

把直线l的参数方程3()代入曲线C的普通方程 (x－1)²＋(y－1)²＝2中，得t²－t－1＝0，

∴t1＋t2＝1，(t1·t2＝－1，)

∴|PA|(1)＋|PB|(1)＝|t1|(1)＋|t2|(1)

＝|t1t2|(|t1－t2|)＝

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