2017届高考理科数学二轮复习训练：2-1-3 数列（参考解析）

1.[2015·郑州质检一]等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃＝6，a₃＝0，则公差d等于(  )

A.－1   B．1

C.2   D．－2

答案 D

解析 S₃＝3a₂＝6，即a₂＝2，

故d＝a₃－a₂＝－2.

2.[2015·西安八校联考]在等差数列{a_n}中，a₁＝0，公差d≠0，若a_m＝a₁＋a₂＋…＋a₉，则m的值为(  )

A.37   B．36

C.20   D．19

答案 A

解析 a_m＝a₁＋a₂＋…＋a₉＝9a₁＋2(9×8)d＝36d＝a₃₇，故选A.

3.设数列{a_n}是首项为a₁，公差为1的等差数列，S_n为其前n项和．若S₁、S₂、S₄成等比数列，则a₂₀₁₅＝(  )

A.4030   B．4029

C.2014   D.2(4029)

答案 D

解析 因为S₁、S₂、S₄成等比数列，所以S2(2)＝S₁S₄，所以(2a₁＋1)²＝a₁(4a₁＋6)，解得a₁＝2(1).所以a_n＝2(1)＋(n－1)×1＝n－2(1)(n∈N^*)，故a₂₀₁₅＝2(4029)，选D.

4.已知等比数列{a_n}的各项都是正数，且a₁，2(1)a_3,2a₂成等差数列，则a7＋a8(a9＋a10)＝(  )

A.3＋2   B．3－2

C.2＋3   D．2＋2

答案 A

解析 设等比数列{a_n}的公比为q，且q>0.因为a₁，2(1)a_3,2a₂成等差数列，所以a₃＝a₁＋2a₂，即a₁q²＝a₁＋2a₁q，解得q＝1＋，所以a7＋a8(a9＋a10)＝q²＝(1＋)²＝3＋2，故选A.

5.若a，b，c成等比数列，其中0<a<b<c<1，n∈N^*，且n≠1，则log_an，log_bn，log_cn组成的数列(  )

A.是等比数列

B.是等差数列

C.每项的倒数成等差数列

D.第二项与第三项分别是第一项与第二项的n次幂

答案 C

解析 解法一：logcn(1)－logbn(1)＝log_nc－log_nb＝log_nb(c)，logbn(1)－logan(1)＝log_nb－log_na＝log_na(b)，∵b(c)＝a(b)，∴logcn(1)－logbn(1)＝logbn(1)－logan(1)，即各项的倒数成等差数列．故选C.

解法二：取a＝8(1)，b＝4(1)，c＝2(1)，n＝2，则log_an＝－3(1)，log_bn＝－2(1)，log_cn＝－1，所以各项的倒数成等差数列．故选C.

6.已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若{a_n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a₂＝(  )

A.4(3)   B．1

C.3(4)   D.2(1)

答案 A

解析 由题意可设数列{a_n}的首项为a₁(a₁>0)，公差为d(d≥0)．因为正项数列{a_n}的前n项和为S_n，所以＝，＝，＝.又{}也是公差为d的等差数列，所以＝＝＋d，两边平方得2a₁＋d＝a₁＋2d＋d² ①，＝＝＋2d，两边平方得3a₁＋3d＝a₁＋4d＋4d² ②，②－①得a₁＝－2d＋2d＋3d² ③，把③代入①得d(2d－1)＝0，解得d＝0或d＝2(1).当d＝0时，代入③得a₁＝0，不合题意；当d＝2(1)时，代入③得a₁＝4(1).所以a₂＝a₁＋d＝4(1)＋2(1)＝4(3)，故选A.

7.[2015·沈阳质检一]数列{a_n}是等比数列，若a₂＝2，a₅＝4(1)，则a₁a₂＋a₂a₃＋…＋a_na_n＋1＝________.

答案 3(32)(1－4^－n)

解析 设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列的性质知a₅＝a₂q³，求得q＝2(1)，所以a₁＝4.a₂a₃＝a1(1)a2(1)＝4(1)a₁a₂，a_na_n＋1＝an－1(1)an(1)＝4(1)a_n－1a_n(n≥2)．设b_n＝a_na_n＋1，可以得出数列{b_n}是以8为首项，以4(1)为公比的等比数列，所以a₁a₂＋a₂a₃＋…＋a_na_n＋1为数列{b_n}的前n项和，由等比数列前n项和公式得a₁a₂＋a₂a₃＋…＋a_na_n＋1＝4(1)＝3(32)(1－4^－n).

8.已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝2，且a_n＋2＝(2＋cosnπ)·(a_n－1)＋3，n∈N^*，设{a_n}的前n项和为S_n，则S_2n－1＝________(用n表示)．

答案 3^n－1＋n²－1

解析 当n是奇数时，cosnπ＝－1；当n是偶数时，cosnπ＝1.所以当n是奇数时，a_n＋2＝a_n＋2；当n是偶数时，a_n＋2＝3a_n.又a₁＝1，a₂＝2，所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．所以a_n＝－1，n为偶数(n)，故S_2n＝(a₁＋a₃＋…＋a_2n－1)＋(a₂＋a₄＋…＋a_2n)＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(2＋6＋…＋2×3^n－1)＝3ⁿ＋n²－1，所以S_2n－1＝S_2n－a_2n＝3ⁿ＋n²－1－2×3^n－1＝3^n－1＋n²－1.

9.[2015·江西南昌调研]一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．

答案 2

解析 记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a_n}(n＝1,2,3,4)，

则由题意得a₂＝2(1)a₁＋1，a₃＝2(1)a₂＋1，a₄＝2(1)a₃＋1，

而2(1)a₄＋1＝2，解得a₄＝2，因此得a₃＝2，…，a₁＝2.

10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＋S_n＝1(n∈N^*)．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}满足b₁＝1，且b_n＋1＝b_n＋a_n，求{b_n}的通项公式．

解 (1)因为a_n＋S_n＝1，所以a_n＋1＋S_n＋1＝1，两式相减得a_n＋1－a_n＋S_n＋1－S_n＝0，所以2a_n＋1＝a_n，

又当n＝1时，a₁＋S₁＝1，所以a₁＝2(1)，

所以{a_n}是首项为2(1)，公比为2(1)的等比数列，

所以a_n＝2(1)×2(1)^n－1＝2(1)ⁿ.

(2)因为b_n＋1＝b_n＋a_n，所以b_n＋1－b_n＝2(1)ⁿ，

所以当n≥2时，b₂－b₁＝2(1)，b₃－b₂＝2(1)²，…，b_n－b_n－1＝2(1)^n－1，

相加得b_n－b₁＝2(1)＋2(1)²＋…＋2(1)^n－1，

所以b_n＝1＋2(1)＋2(1)²＋…＋2(1)^n－1＝2(1)＝2×2n(1)＝2－2n－1(1).

11.[2015·贵州七校联盟联考]已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁＝b₁＝1，且b₃S₃＝36，b₂S₂＝8(n∈N^*)．

(1)求a_n和b_n；

(2)若a_n<a_n＋1，求数列anan＋1(1)的前n项和T_n.

解 (1)由题意得q(2＋d)＝8(q2(3＋3d)＝36)，解得q＝2(d＝2)或q＝6(，)∴bn＝2n－1(an＝2n－1)，或bn＝6n－1((5－2n)).

(2)若a_n<a_n＋1，由(1)知a_n＝2n－1，

∴anan＋1(1)＝(2n－1)(2n＋1)(1)＝2(1)2n＋1(1)，

∴T_n＝2(1)2n＋1(1)＝2n＋1(n).

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(，S_n)在曲线y＝2x²－2上．

(1)求证：数列{a_n}是等比数列；

(2)记b_n＝an(2n－1)，试求数列{b_n}的前n项和T_n.

解 (1)证明：由题意得S_n＝2a_n－2，

所以S_n－1＝2a_n－1－2(n≥2，n∈N^*)．

两式相减得a_n＝2a_n－2a_n－1，即a_n＝2a_n－1(n≥2，n∈N^*)，

又a₁＝S₁＝2a₁－2，所以a₁＝2，

所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知a_n＝2×2^n－1＝2ⁿ，b_n＝2n(2n－1)，

所以T_n＝1×2(1)＋3×22(1)＋5×23(1)＋…＋(2n－1)×2n(1)，2(1)T_n＝1×22(1)＋3×23(1)＋…＋(2n－3)×2n(1)＋(2n－1)×2n＋1(1)，

两式相减得2(1)T_n＝1×2(1)＋2×2n(1)－(2n－1)×2n＋1(1)，

即2(1)T_n＝2×2n(1)－2(1)－(2n－1)×2n＋1(1)＝2×2(1)－2(1)－(2n－1)×2n＋1(1)＝2(3)－2n－1(1)－(2n－1)×2n＋1(1)，

所以T_n＝3－2n－2(1)－(2n－1)×2n(1)＝3－2n(2n＋3).