2017届高考理科数学二轮复习训练：1-7-2 坐标系与参数方程（选修4－4）（参考解析）

1．[2015·郑州质量预测(一)]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos4(π)，直线l的参数方程为t(x＝t)(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．

(1)求圆心的极坐标；

(2)求△PAB面积的最大值．

解 (1)圆C的直角坐标方程为x²＋y²－2x＋2y＝0，即(x－1)²＋(y＋1)²＝2.

所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为4(7π).

(2)直线l的普通方程为：2x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝3(2＋1－1|)＝3(2)，

所以|AB|＝29(8)＝3(10)，

点P到直线AB距离的最大值为r＋d＝＋3(2)＝3(2)，

故最大面积S_max＝2(1)×3(10)×3(2)＝9(5).

2．在平面直角坐标系xOy中，过点P(2,0)的直线l的参数方程为y＝t(3t)(t为参数)，圆C的方程为x²＋y²＝9.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

 (1)求直线l和圆C的极坐标方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

解 (1)直线l的普通方程为x＋y－2＝0，

将y＝ρsinθ(x＝ρcosθ)代入得，ρcosθ＋ρsinθ－2＝0，

整理得直线l的极坐标方程为ρcos(θ－3(π))＝1.

圆C的极坐标方程为ρ＝3.

(2)直线l的参数方程为y＝t(3t)，将其代入x²＋y²＝9得4t²－4t－5＝0，

所以|PA|·|PB|＝|t₁|·|t₂|＝|t₁t₂|＝4(5).

3．[2015·福建高考]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为y＝－2＋3sint(x＝1＋3cost，)(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin4(π)＝m(m∈R)．

(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

解 (1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)²＋(y＋2)²＝9.

由ρsin4(π)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.

(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，

即2(|1－(－2)＋m|)＝2，

解得m＝－3±2.

4．[2015·郑州质量预测(二)]在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为sinαcosα－2sin2α＋2(3cosα＋sinα)(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin4(π)＝2(2)t(t为参数)．

 (1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；

(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．

解 (1)由x＝cosα＋sinα得x²＝(cosα＋sinα)²＝2cos²α＋2sinαcosα＋1，

所以曲线M可化为y＝x²－1，x∈[－2,2]，

由ρsin4(π)＝2(2)t得2(2)ρsinθ＋2(2)ρcosθ＝2(2)t，

所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.

(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2,3)时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立y＝x2－1(x＋y＝t)，得x²＋x－1－t＝0，

由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－4(5).

综上可求得t的取值范围是－4(5)≤t≤5.

5．已知直线l：5()(t为参数)上一点P，椭圆C：y＝sinθ(2cosθ，)(θ为参数)上一点Q，求|PQ|的最大值以及此时点Q的坐标．

解 直线l：5()(t为参数)的普通方程为2x－y＋4＝0，椭圆C：y＝sinθ(2cosθ，)(θ为参数)上一点Q到直线的距离为d＝5(2cosθ－sinθ＋4|)＝5(2cosθ－4|)＝5(3－4)＝5(|3sin(θ＋φ)－4|)，

其中cosφ＝3(1)，sinφ＝－3(2)，

当sin(θ＋φ)＝－1，即θ＋φ＝2(3π)，θ＝2(3π)－φ时，d_max＝5(5).此时cosθ＝cos－φ(3π)＝－sinφ＝3(2)，

sinθ＝sin－φ(3π)＝－cosφ＝－3(1)，

所以，(1)即椭圆上的点Q的坐标为3(1).

6．[2015·陕西质检(二)]在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：x²＋y²＝4，圆C₂：(x－2)²＋y²＝4.

(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C₁与圆C₂的极坐标方程及两圆交点的极坐标；

(2)求圆C₁与圆C₂的公共弦的参数方程．

解 (1)圆C₁的极坐标方程为ρ＝2，圆C₂的极坐标方程为ρ＝4cosθ，

由ρ＝4cosθ(ρ＝2)得ρ＝2，θ＝2kπ±3(π)，其中k∈Z，

故圆C₁与圆C₂交点的极坐标为3(π)，3(π)，其中k∈Z.

(2)由(1)可知圆C₁与圆C₂的交点在直角坐标系下的坐标为(1，)，(1，－)，

故圆C₁与圆C₂的公共弦的参数方程为)(x＝1).