2017届高考理科数学二轮复习训练：1-6-4 高考中的概率与统计（解答题型）（参考解析）

1．[2015·重庆高考]端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝10(3)＝4(1).

(2)X的所有可能值为0,1,2，且

P(X＝0)＝10(3)＝15(7)，P(X＝1)＝10(3)＝15(7)，

P(X＝2)＝10(3)＝15(1).

综上可知，X的分布列为：

故E(X)＝0×15(7)＋1×15(7)＋2×15(1)＝5(3)(个)．

2．[2015·福建高考]某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

 (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．

解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝6(5)×5(4)×4(3)＝2(1).

(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.

又P(X＝1)＝6(1)，P(X＝2)＝6(5)×5(1)＝6(1)，P(X＝3)＝6(5)×5(4)×1＝3(2).

所以X的分布列为：

所以E(X)＝1×6(1)＋2×6(1)＋3×3(2)＝2(5).

3．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：

(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；

(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程^(y)＝^(b)x＋^(a)；

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？

(参考公式：^(b)＝22，^(a)＝－^(b))

解 (1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．

设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个．

所以P(A)＝10(3).

(2)由数据得，另3天的平均数＝12，＝27,3 ＝972，

3²＝432，3x_iy_i＝977，3xi(2)＝434，

所以^(b)＝434－432(977－972)＝2(5)，^(a)＝27－2(5)×12＝－3，

所以y关于x的线性回归方程为^(y)＝2(5)x－3.

(3)依题意得，当x＝10时，^(y)＝22，|22－23|<2；当x＝8时，^(y)＝17，|17－16|<2，

所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．

4．[2015·陕西高考]设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：

(1)求T的分布列与数学期望E(T)；

(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

解 (1)由统计结果可得T的频率分布为

以频率估计概率得T的分布列为

从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3 ＋35×0.4 ＋40×0.1＝32(分钟)．

(2)设T₁，T₂分别表示往、返所需时间，T₁，T₂的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．

解法一：P(A)＝P(T₁＋T₂≤70)＝P(T₁＝25，T₂≤45)＋P(T₁＝30，T₂≤40)＋P(T₁＝35，T₂≤35)＋P(T₁＝40，T₂≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.

解法二：P()＝P(T₁＋T₂>70)＝P(T₁＝35，T₂＝40)＋P(T₁＝40，T₂＝35)＋P(T₁＝40，T₂＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.

故P(A)＝1－P()＝0.91.

5．[2015·北京高考]A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

A组：10,11,12,13,14,15,16；

B组：12,13,15,16,17,14，a.

假设所有病人的康复时间相互独立．从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；

(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)

解 设事件A_i为“甲是A组的第i个人”，

事件B_i为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.

由题意可知P(A_i)＝P(B_i)＝7(1)，i＝1,2，…，7.

(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是

P(A₅∪A₆∪A₇)＝P(A₅)＋P(A₆)＋P(A₇)＝7(3).

(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，

C＝A₄B₁∪A₅B₁∪A₆B₁∪A₇B₁∪A₅B₂∪A₆B₂∪A₇B₂∪A₇B₃∪A₆B₆∪A₇B₆.

因此P(C)＝P(A₄B₁)＋P(A₅B₁)＋P(A₆B₁)＋P(A₇B₁)＋P(A₅B₂)＋P(A₆B₂)＋P(A₇B₂)＋P(A₇B₃)＋P(A₆B₆)＋P(A₇B₆)＝10P(A₄B₁)＝10P(A₄)P(B₁)＝49(10).

(3)a＝11或a＝18.

6．[2015·河北质监(二)]

市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．

 (1)求直方图中x的值；

(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)

解 (1)由直方图可得：

20x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1，

所以x＝0.0125.

(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

0．003×2×20＝0.12，

因为1200×0.12＝ 144，

所以估计1200名新生中有144名学生可以申请住宿．

(3)X的可能取值为0,1,2,3,4.

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为4(1)，

P(X＝0)＝4(3)⁴＝256(81)，

P(X＝1)＝C4(1)×4(1)×4(3)³＝64(27)，

P(X＝2)＝C4(2)×4(1)²×4(3)²＝128(27)，

P(X＝3)＝C4(3)×4(1)³×4(3)＝64(3)，

P(X＝4)＝4(1)⁴＝256(1).

所以X的分布列为：

E(X)＝0×256(81)＋1×64(27)＋2×128(27)＋3×64(3)＋4×256(1)＝1＝1(1).

所以X的数学期望为1.