2017届高考理科数学二轮复习训练：1-5-1 直线与圆（参考解析）

一、选择题

1.[2015·郑州质量预测(一)]命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的(  )

A.充要条件    B．充分非必要条件

C.必要非充分条件    D．既非充分也非必要条件

答案 A

解析 直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直的充要条件是6a＋12＝0，即a＝－2，因此选A.

2.已知直线l₁与直线l₂：3x＋4y－6＝0平行且与圆：x²＋y²＋2y＝0相切，则直线l₁的方程是(  )

A.3x＋4y－1＝0

B.3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0

C.3x＋4y＋9＝0

D.3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0

答案 D

解析 圆x²＋y²＋2y＝0的圆心为(0，－1)，半径为r＝1，因为直线l₁∥l₂，所以可设直线l₁的方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－6)，由题意得32＋42(|3×0＋4×(－1)＋c|)＝1，解得c＝－1或c＝9.所以直线l₁的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.故选D.

3.若坐标原点在圆(x－m)²＋(y＋m)²＝4的内部，则实数m的取值范围是(  )

A.－1<m<1    B．－<m<

C.－<m<    D．－2(2)<m<2(2)

答案 C

解析 因为原点在圆(x－m)²＋(y＋m)²＝4的内部，所以2m²<4，解得－<m<，故选C.

4.对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆x²＋y²－2x－2＝0的位置关系是(  )

A.相离    B．相切

C.相交    D．以上三个选项均有可能

答案 C

解析 直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，0²＋(－1)²－2×0－2＝－1<0，即A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x²＋y²－2x－2＝0相交，故选C.

5.[2015·安徽高考]直线3x＋4y＝b与圆x²＋y²－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(  )

A.－2或12    B．2或－12

C.－2或－12    D．2或12

答案 D

解析 圆的标准方程为(x－1)²＋(y－1)²＝1，圆心(1,1)到直线3x＋4y＝b的距离5(|7－b|)＝1，所以b＝2或b＝12.

6.圆(x－1)²＋(y－2)²＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(  )

A.(x－2)²＋(y－1)²＝1    B．(x＋1)²＋(y－2)²＝1

C.(x＋2)²＋(y－1)²＝1    D．(x－1)²＋(y＋2)²＝1

答案 A

解析 ∵圆心(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)²＋(y－2)²＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)²＋(y－1)²＝1.

7.[2015·太原一模]已知在圆x²＋y²－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(  )

A.3    B．6

C.4    D．2

答案 D

解析 将圆的方程化为标准方程得(x－2)²＋(y＋1)²＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|

＝＝，|BD|＝2＝2，∴S_{四边形ABCD}＝2(1)|AC|×|BD|＝2，故选D.

8.[2015·课标全国卷Ⅱ]已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(  )

A.3(5)    B.3(21)

C.3(5)    D.3(4)

答案 B

解析 解法一：设圆的一般方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

∴E＋F＝0，(E＋F＝0，)∴F＝1，(3，)

∴△ABC外接圆的圆心为3(3)，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为2(3)＝3(21).

解法二：∵A(1,0)，B(0，)，C(2，)，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为，故中心为3(3)，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为2(3)＝3(21).

9.[2015·兰州诊断]已知抛物线C₁：x²＝2y的焦点为F，以F为圆心的圆C₂交C₁于A，B两点，交C₁的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C₂的标准方程为(  )

A.x²＋2(1)²＝4    B.2(1)²＋y²＝4

C.x²＋2(1)²＝2    D.2(1)²＋y²＝2

答案 A

解析 由题设知抛物线的焦点为F2(1)，所以圆C₂的圆心坐标为F2(1).因为四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F2(1)为圆C₂的圆心，所以点F为该矩形的两条对角线的交点，所以点F到直线CD的距离与点F到直线AB的距离相等．又点F到直线CD的距离为p＝1，所以直线AB的方程为：y＝2(3)，可取A2(3)，所以圆C₂的半径r＝|AF|＝2(1)＝2，所以圆C₂的标准方程为：x²＋2(1)²＝4，故选A.

10.

已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x²－2ax＋y²＋a²－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为(  )

A.1    B．－5

C.1或－5    D．5

答案 C

解析 解法一：圆的标准方程为(x－a)²＋y²＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝2(|a＋2|)，

由图知圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝2(|a＋2|)－1，(S_△ABC)_min＝2(1)×2×2(2)＝3－，

解得a＝1或－5.

解法二：圆的标准方程为(x－a)²＋y²＝1，设C的坐标为(a＋cosθ，sinθ)，C点到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝2(|a＋cosθ－sinθ＋2|)＝＋a＋2()，

△ABC的面积为

S_△ABC＝2(1)×2×＋a＋2()

＝＋a＋2(π)，

当a≥0时，a＋2－＝3－，解得a＝1；

当－2≤a<0时，|a＋2－|＝3－，无解；

当a<－2时，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5.

故a＝1或－5.

解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠2)，圆心M(a,0)到直线l′的距离d＝1，即2(|a＋m|)＝1，解得m＝±－a，

两平行线l，l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离，

即2(|m－2|)＝2(2－a－2|)，

(S_△ABC)_min＝2(1)×2×2(2－a－2|)＝|±－a－2|.

当a≥0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝1.

当a<0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝－5.

故a＝1或－5.

二、填空题

11.在平面直角坐标系xOy中，若圆x²＋(y－1)²＝4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，则直线AB的方程为________．

答案 x＋y－3＝0

解析 根据题意，直线AB必过点P(1,2)，且和过点P(1,2)的直径垂直，因为过点P(1,2)的直径的斜率为1，所以直线AB的斜率为－1，用点斜式可求得AB的方程为x＋y－3＝0.

12.已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l₁：x＝－2的右侧，若圆M被直线l₁所截得的弦长为2，且与直线l₂：2x－y－4＝0相切，则圆M的方程为________．

答案 (x＋1)²＋y²＝4

解析 由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，半径为r，则

＝r，(|2a－4|)解得r＝2，(a＝－1，)(a＝－5(47)舍去)，

所以圆M的方程为(x＋1)²＋y²＝4，故填(x＋1)²＋y²＝4.

13.若圆x²＋y²＝4与圆x²＋y²＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.

答案 2(10)

解析 联立两圆方程x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0，(x2＋y2＝4，)

可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，

故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为a2＋4a2(|－5|)＝a(5)(a>0)．故22(5)＝2，解得a²＝2(5)，

因为a>0，所以a＝2(10).

14.已知M＝{x|x²＋x－12<0}，任取b∈M，则直线l：x＋2y＋b＝0与圆C：x²＋y²－2x－2y－3＝0相交的概率为________．

答案 7(6)

解析 由x²＋x－12<0，得－4<x<3，故M＝(－4,3)．

圆C的方程可化为(x－1)²＋(y－1)²＝5，其圆心为C(1,1)，半径为r＝.

由直线l和圆C相交，可得圆心C到直线l的距离小于圆的半径，即12＋22(|1＋2×1＋b|)<，

整理得|b＋3|<5，解得－8<b<2.

因为b∈M，所以－4<b<2.

故所求事件的概率为P＝3－(－4)(2－(－4))＝7(6)，故填7(6).