2017届高考理科数学二轮复习训练：1-3-1 等差数列、等比数列（参考解析）

一、选择题

1．已知等比数列{a_n}中，a₅＝10，则lg (a₂a₈)等于(  )

A．1   B．2

C．10   D．100

答案 B

解析 由等比数列的性质可知lg (a₂a₈)＝lg a5(2)＝lg 100＝2.

2．[2015·唐山统考]设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，若S2(S4)＝3，则S4(S6)＝(  )

A．2   B.3(7)

C.10(3)   D．1或2

答案 B

解析 设S₂＝k，S₄＝3k，由数列{a_n}为等比数列，得S₂，S₄－S₂，S₆－S₄为等比数列，∴S₂＝k，S₄－S₂＝2k，S₆－S₄＝4k，∴S₆＝7k，S₄＝3k，∴S4(S6)＝3k(7k)＝3(7)，故选B.

3．[2015·江西八校联考]数列{a_n}的前n项和S_n＝2n²－3n(n∈N^*)，若p－q＝5，则a_p－a_q＝(  )

A．10   B．15

C．－5   D．20

答案 D

解析 当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n²－3n－[2(n－1)²－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a₁＝S₁＝－1，符合上式，∴a_n＝4n－5，∴a_p－a_q＝4(p－q)＝20.

4．数列{a_n}的首项为1，数列{b_n}为等比数列，且b_n＝an(an＋1)，若b₁₀₀₇·b₁₀₀₈＝2，则a₂₀₁₅＝(  )

A．2²⁰¹⁴   B．2¹⁰⁰⁸

C．2¹⁰⁰⁷   D．2²⁰¹³

答案 C

解析 根据等比数列的特性可知，b₁b₂b₃…b₈＝a1(a9)，且b₁b₂b₃…b₂₀₁₄＝a1(a2015)⇒a₂₀₁₅＝2¹⁰⁰⁷，故选C.

5．等比数列{a_n}中，a₃＝9，前三项和S₃＝3x²dx，则公比q的值为(  )

A．1   B．－2(1)

C．1或－2(1)   D．－1或－2(1)

答案 C

解析 S₃＝3x²dx＝x³＝27－0＝27，设公比为q，又a₃＝9，则q2(9)＋q(9)＋9＝27，即2q²－q－1＝0，解得q＝1或q＝－2(1)，故选C.

6．[2015·辽宁五校联考]抛物线x²＝2(1)y在第一象限内图象上一点(a_i,2ai(2))处的切线与x轴交点的横坐标记为a_i＋1，其中i∈N^*，若a₂＝32，则a₂＋a₄＋a₆等于(  )

A．64   B．42

C．32   D．21

答案 B

解析 令y＝f(x)＝2x²，则切线斜率k＝f′(a_i)＝4a_i，切线方程为y－2ai(2)＝4a_i(x－a_i)，令y＝0得x＝a_i＋1＝2(1)a_i，由a₂＝32得：a₄＝8，a₆＝2，所以a₂＋a₄＋a₆＝42，故选B.

7．正项等比数列{a_n}满足：a₃＝a₂＋2a₁，若存在a_m，a_n，使得a_m·a_n＝16a1(2)，m，n∈N^*，则m(1)＋n(9)的最小值为(  )

A．2   B．16

C.4(11)   D.2(3)

答案 C

解析 设数列{a_n}的公比为q，a₃＝a₂＋2a₁⇒q²＝q＋2⇒q＝－1(舍)或q＝2，∴a_n＝a₁·2^n－1，a_m·a_n＝16a1(2)⇒a1(2)·2^m＋n－2＝16a1(2)⇒m＋n＝6，∵m，n∈N^*，∴(m，n)可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m＝2，n＝4时，m(1)＋n(9)取最小值4(11).

8．[2015·石家庄模拟]等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＋a₂＝10，S₄＝36，则过点P(n，a_n)和Q(n＋2，a_n＋2)(n∈N^*)的直线的一个方向向量是(  )

A.，－2(1)   B．(－1，－1)

C.，－1(1)   D.2(1)

答案 A

解析 设等差数列{a_n}的公差为d，则由题设得：4a1＋6d＝36(2a1＋d＝10)，解得：d＝4(a1＝3).所以a_n＝4n－1，→(PQ)＝(n＋2－n，a_n＋2－a_n)＝(2,8)＝－4×，－2(1)，所以过点P(n，a_n)和Q(n＋2，a_n＋2)(n∈N^*)的直线的一个方向向量是，－2(1)，故选A.

9．等比数列{a_n}中，已知对任意正整数n，a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝2ⁿ－1，则a1(2)＋a2(2)＋a3(2)＋…＋an(2)等于(  )

A.3(1)(4ⁿ－1)   B.3(1)(2ⁿ－1)

C．4ⁿ－1   D．(2ⁿ－1)²

答案 A

解析 由题知a₁＝1，公比q＝2，故数列{an(2)}是首项为1，公比为4的等比数列，故a1(2)＋a2(2)＋a3(2)＋…＋an(2)＝1－4(1×(1－4n))＝3(1)(4ⁿ－1)，故选A.

10．[2015·太原一模]已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝(－1)ⁿ(2n－1)·cos2(nπ)＋1(n∈N^*)，其前n项和为S_n，则S₆₀＝(  )

A．－30   B．－60

C．90   D．120

答案 D

解析 由题意可得，当n＝4k－3(k∈N^*)时，a_n＝a_4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N^*)时，a_n＝a_4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N^*)时，a_n＝a_4k－1＝1；当n＝4k(k∈N^*)时，a_n＝a_4k＝8k.∴a_4k－3＋a_4k－2＋a_4k－1＋a_4k＝8，∴S₆₀＝8×15＝120.故选D.

二、填空题

11．[2015·贵阳质监]已知数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1＝1－an(1＋an)(n∈N^*)，则该数列的前2015项的乘积a₁·a₂·a₃·…·a₂₀₁₅＝________.

答案 3

解析 由题意可得，a₂＝1－a1(1＋a1)＝－3，a₃＝1－a2(1＋a2)＝－2(1)，a₄＝1－a3(1＋a3)＝3(1)，a₅＝1－a4(1＋a4)＝2＝a₁，∴数列{a_n}是以4为周期的数列，且a₁·a₂·a₃·a₄＝1，而2015＝4×503＋3，∴前2015项乘积为a₁a₂a₃＝3.

12．[2015·陕西质检二]已知正项数列{a_n}满足an＋1(2)－6an(2)＝a_n＋1a_n.若a₁＝2，则数列{a_n}的前n项和为________．

答案 3ⁿ－1

解析 ∵an＋1(2)－6an(2)＝a_n＋1a_n，∴(a_n＋1－3a_n)(a_n＋1＋2a_n)＝0，∵a_n>0，∴a_n＋1＝3a_n，∴{a_n}为等比数列，且公比为3，∴S_n＝3ⁿ－1.

13．[2015·山西四校联考(三)]设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝a₂＝1，{nS_n＋(n＋2)a_n}为等差数列，则{a_n}的通项公式为a_n＝________.

答案 2n－1(n)

解析 设b_n＝nS_n＋(n＋2)a_n，则b₁＝1×S₁＋(1＋2)a₁＝1×a₁＋3a₁＝4，b₂＝2×S₂＋(2＋2)a₂＝2×(a₁＋a₂)＋(2＋2)a₂＝8，所以等差数列{b_n}的首项为4，公差为4，所以b_n＝4＋(n－1)×4＝4n，即nS_n＋(n＋2)a_n＝4n.当n≥2时，S_n－S_n－1＋n(2)a_n－n－1(2)a_n－1＝0，所以n(2(n＋1))a_n＝n－1(n＋1)a_n－1，即2·n(an)＝n－1(an－1)，所以n(an)是以2(1)为公比，1为首项的等比数列，所以n(an)＝2(1)^n－1，所以a_n＝2n－1(n).

14．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x)＝f(x＋3)，f(－2)＝－3.若数列{a_n}中，a₁＝－1，且前n项和S_n满足n(Sn)＝2×n(an)＋1，则f(a₅)＋f(a₆)＝________________________________________.

答案 3

解析 ∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∵f(x)＝f(x＋3)，∴f(x)是以3为周期的周期函数．

∵S_n＝2a_n＋n，∴S_n－1＝2a_n－1＋(n－1)(n≥2)，两式相减并整理得出a_n＝2a_n－1－1，即a_n－1＝2(a_n－1－1)，

∴数列{a_n－1}是以2为公比的等比数列，首项为a₁－1＝－2，a_n－1＝－2×2^n－1＝－2ⁿ，a_n＝－2ⁿ＋1，∴a₅＝－31，a₆＝－63，∴f(a₅)＋f(a₆)＝f(－31)＋f(－63)＝f(2)＋f(0)＝f(2)＝－f(－2)＝3.