2017届高考理科数学二轮复习训练：2-3-3 分类讨论思想（参考解析）

一、选择题

1.集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x||x－3|<a，x∈R}，若A⊇B，那么a的取值范围是(  )

A.0≤a≤1   B．a≤1

C.a<1   D．0<a<1

答案 B

解析 当a≤0时，B＝∅，满足B⊆A；当a>0时，欲使B⊆A，则3＋a≤4(3－a≥－4)⇒0<a≤1.综上得a≤1.

2．执行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为M，从集合M中任取一个元素m，则函数y＝x^m(x>0)是增函数的概率为(  )

A.4(1)     B.2(1)

C.4(3)     D.5(4)

答案 B

解析 由程序框图可知，初始条件x＝－2.当－2≤2时，y＝(－2)²＋2×(－2)＝0，从而x＝－2＋1＝－1；当－1≤2时，y＝(－1)²＋2×(－1)＝－1，从而x＝－1＋1＝0；当0≤2时，y＝0²＋2×0＝0，从而x＝0＋1＝1；当1≤2时，y＝1²＋2×1＝3，从而x＝1＋1＝2；当2≤2时，y＝2²＋2×2＝8，从而x＝2＋1＝3；当3>2时，退出循环．因此当x≤2时，集合M＝{0，－1,3,8}．要使函数y＝x^m(x>0)是增函数，则必须且只需m>0，故所求概率P＝2(1)，故选B.

3.如果函数f(x)＝a^x(a^x－3a²－1)(a>0且a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是(  )

A.3(2)   B.，1(3)

C.(1，]   D.，＋∞(2)

答案 B

解析 令a^x＝t，则y＝t²－(3a²＋1)·t，对称轴t＝－2(－(3a2＋1))＝2(3a2＋1)≥2(1).

①若0<a<1，则0<a^x≤1.

欲使x∈[0，＋∞)时f(x)递增，只需2(3a2＋1)≥1.

即3a²＋1≥2，即a²≥3(1).

∴a≥3(3)或a≤－3(3)(舍去)，∴3(3)≤a＜1.

②当a>1时，a^x>1不满足题设条件，故选B.

4.[2015·西安八校联考]设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g(x)＝ax＋1(ax)(a>0且a≠1)，那么函数f(x)＝2(1)＋2(1)的值域为(  )

A.{－1,0,1}   B．{0,1}

C.{1，－1}   D．{－1,0}

答案 D

解析 ∵g(x)＝ax＋1(ax)，∴g(－x)＝ax＋1(1)，

∴0<g(x)<1,0<g(－x)<1，g(x)＋g(－x)＝1.

当2(1)<g(x)<1时，0<g(－x)<2(1)，∴f(x)＝－1；

当0<g(x)<2(1)时，2(1)<g(－x)<1，∴f(x)＝－1；

当g(x)＝2(1)时，g(－x)＝2(1)，∴f(x)＝0.

综上，f(x)的值域为{－1,0}，故选D.

5.已知双曲线2x²－2y²＝1的右焦点F为抛物线Γ：y²＝2px的焦点，点P是抛物线Γ准线上的一点，点Q是直线PF与抛物线Γ的一个交点．若→(PQ)＝ →(QF)，则直线PF的方程为(  )

A.x＋y－1＝0

B.x－y－1＝0

C.x＋y－1＝0或x－y－1＝0

D.x＋y＋1＝0或x－y－1＝0

答案 C

解析 因为双曲线2x²－2y²＝1的右焦点F为(1,0)，即抛物线Γ的焦点为(1,0)，所以抛物线Γ的准线方程为x＝－1.

设Q(x₀，y₀)，过点Q作直线QA垂直于准线，垂足为A，根据抛物线的定义知，|→(QF)|＝|→(QA)|，

因为→(PQ)＝ →(QF)，所以|→(PQ)|＝ |→(QF)|＝ |→(QA)|，

所以直线PF的倾斜角为45°或135°，

所以直线PF的方程为y－0＝±(x－1)，

即x＋y－1＝0或x－y－1＝0.

故选C.

二、填空题

6.[2013·浙江高考]将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．

答案 480

解析 如图六个位置.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有A5(5)种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共A4(2)·A3(3)种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有A2(2)·A3(3)种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有A3(2)·A3(3)种排法；若C在第4个位置，则有A2(2)A3(3)＋A3(2)A3(3)种排法；若C在第5个位置，则有A4(2)A3(3)种排法；若C在第6个位置，则有A5(5)种排法．

  综上，共有2(A5(5)＋A4(2)A3(3)＋A3(2)A3(3)＋A2(2)A3(3))＝480(种)排法.

7.设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和S_n>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．

答案 (－1,0)∪(0，＋∞)

解析 由S_n>0，得a₁＝S₁>0，当q＝1时，S_n＝na₁>0满足题意；当q≠1时，S_n＝1－q(a1(1－qn))>0，

即1－q(1－qn)>0(n＝1,2,3，…)，则有1－qn>0(1－q>0，)①或1－qn<0(1－q<0，)②，由①得－1<q<1，由②得q>1.

又因为q≠0，故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).

8. 如图所示的程序框图，当输入的值为x∈(－1,3]时，输出y的取值范围为________．

答案 [－2,0]∪[1,3)

解析 由题意知，输出的y是函数f(x)＝1－x，x≥1(2x2＋1，x<1，)的函数值．故当x∈(－1,1)时，y＝2x²＋1∈[1,3)；当x∈[1,3]时，y＝1－x∈[－2,0]．所以输出y的取值范围为[－2,0]∪[1,3).

9.对一切实数x，若不等式x²＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案 a≥－2

解析 解法一：令t＝|x|，则原不等式可变为t²＋at＋1≥0对于t≥0恒成立．

令f(t)＝t²＋at＋1，显然函数图象为开口向上的抛物线，且过定点(0,1)，

当t＝－2(a)≤0即a≥0时，结合f(t)＝t²＋at＋1(t≥0)的图象显然在t轴的上方，所以当a≥0时，t²＋at＋1≥0对于t≥0恒成立；

当t＝－2(a)>0即a<0时，结合f(t)＝t²＋at＋1(t≥0)的图象可得Δ＝a²－4≤0，解得－2≤a＜0.

综上所述，a≥0或－2≤a<0，即a≥－2.

解法二：当x＝0时，不等式x²＋a|x|＋1≥0显然恒成立；

当x≠0时，由x²＋a|x|＋1≥0得－a≤|x|＋|x|(1)，

而|x|＋|x|(1)≥2|x|(1)＝2，当且仅当|x|＝|x|(1)，即x＝±1时等号成立，所以－a≤2，得a≥－2.综上所述，a≥－2.

三、解答题

10.[2015·黄山市质检二]设函数f(x)＝ln x－p(x－1)，p∈R.

(1)当p＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)＝xf(x)＋p(2x²－x－1)，对任意x≥1都有g(x)≤0成立，求实数p的取值范围．

解 (1)当p＝1时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝x(1－x)(x>0)．

当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，故函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．

(2)由函数g(x)＝xln x＋p(x²－1)，得g′(x)＝ln x＋1＋2px(x>0)，

由(1)知，当p＝1时，f(x)≤f(1)，即不等式ln x≤x－1成立．

①当p≤－2(1)时，g′(x)＝ln x＋1＋2px≤(x－1)＋1＋2px＝(2p＋1)x≤0，

即函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减，从而g(x)≤g(1)＝0，满足题意；

②当－2(1)<p<0时，存在x∈2p(1)，使得ln x>0,1＋2px>0，

则g′(x)＝ln x＋(1＋2px)>0，即函数g(x)在 2p(1)上单调递增，

从而存在x₀∈2p(1)，使得g(x₀)>g(1)＝0，不满足题意；

③当p≥0时，由x≥1知g(x)＝xln x＋p(x²－1)≥0恒成立，此时不满足题意．

综上，实数p的取值范围是2(1).

11.[2015·湖北高考]将离心率为e₁的双曲线C₁的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e₂的双曲线C₂，求e₁与e₂的大小关系．

解 依题意，e₁＝a(a2＋b2)＝2(b)，

e₂＝a＋m((a＋m)2＋(b＋m)2)＝2(b＋m).

因为a(b)－a＋m(b＋m)＝a(a＋m)(ab＋bm－ab－am)＝a(a＋m)(m(b－a))，

由于m>0，a>0，b>0，

所以当a>b时，0<a(b)<1,0<a＋m(b＋m)<1，a(b)<a＋m(b＋m)，a(b)²<a＋m(b＋m)²，所以e₁<e₂；

当a<b时，a(b)>1，a＋m(b＋m)>1，而a(b)>a＋m(b＋m)，

所以a(b)²>a＋m(b＋m)²，所以e₁>e₂.

所以当a>b时，e₁<e₂；当a<b时，e₁>e₂.

12.[2015·湖南高考]设数列{a_n}的前n项和为S_n.已知a₁＝1，a₂＝2，且a_n＋2＝3S_n－S_n＋1＋3，n∈N^*.

(1)证明：a_n＋2＝3a_n；

(2)求S_n.

解 (1)证明：由条件，对任意n∈N^*，有a_n＋2＝3S_n－S_n＋1＋3，

因而对任意n∈N^*，n≥2，有a_n＋1＝3S_n－1－S_n＋3.

两式相减，得a_n＋2－a_n＋1＝3a_n－a_n＋1，即a_n＋2＝3a_n，n≥2.

又a₁＝1，a₂＝2，所以a₃＝3S₁－S₂＋3＝3a₁－(a₁＋a₂)＋3＝3a₁.

故对一切n∈N^*，a_n＋2＝3a_n.

(2)由(1)知，a_n≠0，所以an(an＋2)＝3，于是数列{a_2n－1}是首项a₁＝1，公比为3的等比数列；数列{a_2n}是首项a₂＝2，公比为3的等比数列．

因此a_2n－1＝3^n－1，a_2n＝2×3^n－1.

于是S_2n＝a₁＋a₂＋…＋a_2n＝(a₁＋a₃＋…＋a_2n－1)＋(a₂＋a₄＋…＋a_2n)＝(1＋3＋…＋3^n－1)＋2(1＋3＋…＋3^n－1)＝3(1＋3＋…＋3^n－1)＝2(3(3n－1))，

从而S_2n－1＝S_2n－a_2n＝2(3(3n－1))－2×3^n－1＝2(3)(5×3^n－2－1)．