2017届高考理科数学二轮复习训练：1-5-3-2 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题（参考解析）

1．[2015·山西质监]已知动点Q与两定点(－，0)，(，0)连线的斜率的乘积为－2(1)，点Q形成的轨迹为M.

(1)求轨迹M的方程；

(2)过点P(－2,0)的直线l交M于A，B两点，且→(PB)＝3→(PA)，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别作CE，DF垂直x轴于E，F两点，求四边形CEFD面积的最大值．

解 (1)设Q(x，y)，则2(y)·2(y)＝－2(1)(x≠±)，

化简得轨迹M的方程为2(x2)＋y²＝1(x≠±)．

(2)由(1)知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my－2，

代入椭圆方程得(m²＋2)y²－4my＋2＝0，

Δ＝8(m²－2)．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则y₁＋y₂＝m2＋2(4m)，①y₁y₂＝m2＋2(2).②

由→(PB)＝3→(PA)得，y₂＝3y₁.③

由①②③可得m²＝4.经检验，满足Δ>0.

不妨取m＝2，设直线CD的方程为x＝2y＋n，代入椭圆方程得6y²＋4ny＋n²－2＝0，Δ＝8(6－n²)，

设C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)，

则y₃＋y₄＝－3(2)n，y₃y₄＝6(n2－2)，

又由已知及Δ>0，可得2<n²<6.

又|x₃－x₄|＝2|y₃－y₄|＝3(12－2n2)，

则S_{四边形CEFD}＝2(1)|y₃＋y₄||x₃－x₄|＝9(2)≤9(2)×2(6)＝3(2)，

当且仅当n²＝3时等号成立．

所以四边形CEFD面积的最大值为3(2).

2．[2015·江西师大附中、鹰潭一中联考]已知抛物线E：y²＝2px(p>0)的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)²＋y²＝1的两条切线，切点为M，N，|MN|＝3(2).

 (1)求抛物线E的方程；

(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且→(OA)·→(OB)＝4(9)(其中O为坐标原点)．

①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；

②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

解 (1)由已知得K，0(p)，C(2,0)．

设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|＝3(2).

于是|CR|＝＝3(1)，

所以|CK|＝sin∠MKC(|MC|)＝sin∠CMR(|MC|)＝3，即2＋2(p)＝3，p＝2，故抛物线E的方程为y²＝4x.

(2)①证明：设直线AB的方程为x＝my＋t，A1()、B2()，

联立x＝my＋t(y2＝4x)得y²－4my－4t＝0，则y₁＋y₂＝4m，y₁y₂＝－4t.

由→(OA)·→(OB)＝4(9)得：16((y1y2)2)＋y₁y₂＝4(9)⇒y₁y₂＝－18或y₁y₂＝2(舍去)，

即－4t＝－18⇒t＝2(9)，所以直线AB过定点Q，0(9)；

②由①得|AB|＝|y₂－y₁|＝·，

同理得，|GD|＝2(1)|y₂－y₁|＝m2(1)·＋72(16)，

则四边形AGBD面积S＝2(1)|AB|·|GD|＝2(1)·m2(1)＋72(16)

＝4m2(1)

令m²＋m2(1)＝μ(μ≥2)，则S＝4是关于μ的增函数，

故S_min＝88.当且仅当m＝±1时取到最小值88.

3．[2015·黄冈中学八校联考]如图所示，已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F(1,0)，C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点．

(1)写出抛物线C₂的标准方程；

(2)求证：以AB为直径的圆过原点；

(3)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

解 (1)设抛物线的标准方程为y²＝2px(p>0)，

由F(1,0)，得p＝2，

∴C₂：y²＝4x.

(2)可设AB：x＝4＋ny，联立y²＝4x，得y²－4ny－16＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁y₂＝－16，x₁x₂＝2()＝16，∴→(OA)·→(OB)＝x₁x₂＋y₁y₂＝0，即以AB为直径的圆过原点．

(3)设P(4t^2,4t)，则OP的中点(2t^2,2t)在直线l上，

∴＝－n，(4t)得n＝±1，又∵t<0，

∴n＝1，直线l：x＝y＋4.

设椭圆C₁：a2(x2)＋a2－1(y2)＝1，与直线l：x＝y＋4联立可得：

(2a²－1)y²＋8(a²－1)y－a⁴＋17a²－16＝0，

由Δ≥0，得a≥2(34)，

∴长轴长最小值为.

4．[2015·四川高考]如图，椭圆E：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的离心率是2(2)，点P(0,1)在短轴CD上，且→(PC)·→(PD)＝－1.

(1)求椭圆E的方程；

 (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点，是否存在常数λ，使得→(OA)·→(OB)＋λ→(PA)·→(PB)为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

解 (1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．

又点P的坐标为(0,1)，且→(PC)·→(PD)＝－1，

于是a2－b2＝c2，(2，)解得a＝2，b＝.

所以椭圆E的方程为4(x2)＋2(y2)＝1.

(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，点A，B的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)．

联立y＝kx＋1，(＝1，)得(2k²＋1)x²＋4kx－2＝0.

其判别式Δ＝(4k)²＋8(2k²＋1)>0，

所以，x₁＋x₂＝－2k2＋1(4k)，x₁x₂＝－2k2＋1(2).

从而，→(OA)·→(OB)＋λ→(PA)·→(PB)＝x₁x₂＋y₁y₂＋λ[x₁x₂＋(y₁－1)(y₂－1)]＝(1＋λ)(1＋k²)x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋1＝2k2＋1((－2λ－4)k2＋(－2λ－1))＝－2k2＋1(λ－1)－λ－2，

所以，当λ＝1时，－2k2＋1(λ－1)－λ－2＝－3.

此时，→(OA)·→(OB)＋λ→(PA)·→(PB)＝－3为定值．

当直线AB的斜率不存在时，直线AB即直线CD.

此时，→(OA)·→(OB)＋λ→(PA)·→(PB)＝→(OC)·→(OD)＋→(PC)·→(PD)＝－2－1＝－3.

故存在常数λ＝1，使得→(OA)·→(OB)＋λ→(PA)·→(PB)为定值－3.

5．[2015·贵阳监测]已知椭圆C的两个焦点是(0，－)和(0，)，并且经过点，1(3)，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.

(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；

(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，求→(AG)·→(HB)的最小值．

解 (1)设椭圆C的标准方程为a2(y2)＋b2(x2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，

则由题意得c＝，2a＝)2(3)＋)2(3)＝4，

∴a＝2，b²＝a²－c²＝1，

∴椭圆C的标准方程为4(y2)＋x²＝1.

∴右顶点F的坐标为(1,0)．

设抛物线E的标准方程为y²＝2px(p>0)，

∴2(p)＝1,2p＝4，∴抛物线E的标准方程为y²＝4x.

(2)设l₁的方程：y＝k(x－1)，l₂的方程：y＝－k(1)(x－1)，A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)、G(x₃，y₃)、H(x₄，y₄)．

由y2＝4x(y＝k(x－1))消去y得：k²x²－(2k²＋4)x＋k²＝0，

∴Δ＝4k⁴＋16k²＋16－4k⁴>0，x₁＋x₂＝2＋k2(4)，x₁x₂＝1.

同理x₃＋x₄＝4k²＋2，x₃x₄＝1，

∴→(AG)·→(HB)＝(→(AF)＋→(FG))·(→(HF)＋→(FB))

＝→(AF)·→(HF)＋→(AF)·→(FB)＋→(FG)·→(HF)＋→(FG)·→(FB)

＝|→(AF)|·|→(FB)|＋|→(FG)|·|→(HF)|

＝|x₁＋1|·|x₂＋1|＋|x₃＋1|·|x₄＋1|

＝(x₁x₂＋x₁＋x₂＋1)＋(x₃x₄＋x₃＋x₄＋1)

＝8＋k2(4)＋4k²

≥8＋2·4k2(4)＝16，

当且仅当k2(4)＝4k²，即k＝±1时，→(AG)·→(HB)有最小值16.

6．[2015·贵州八校联考(二)]过椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1的右焦点F作斜率k＝－1的直线交椭圆于A，B两点，且→(OA)＋→(OB)与a＝(1，3(1))共线．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上任意一点，且→(OP)＝m→(OA)＋n→(OB)(m，n∈R)，证明：m²＋n²为定值．

解 (1)设AB：y＝－x＋c，直线AB交椭圆于两点，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

y＝－x＋c(b2x2＋a2y2＝a2b2)⇒b²x²＋a²(－x＋c)²＝a²b²，(b²＋a²)x²－2a²cx＋a²c²－a²b²＝0

x₁＋x₂＝a2＋b2(2a2c)，x₁x₂＝a2＋b2(a2c2－a2b2)，

→(OA)＋→(OB)＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)与a＝3(1)共线，

3(y₁＋y₂)－(x₁＋x₂)＝0，

3(－x₁＋c－x₂＋c)－(x₁＋x₂)＝0，即

x₁＋x₂＝2(3c)，a²＝3b²，c＝＝3(6a)，e＝a(c)＝3(6).

(2)证明：a²＝3b²，椭圆方程为x²＋3y²＝3b²，设M(x，y)为椭圆上任意一点，→(OM)＝(x，y)，→(OM)＝m→(OA)＋n→(OB)，(x，y)＝(mx₁＋nx₂，my₁＋ny₂)，点M(x，y)在椭圆上，(mx₁＋nx₂)²＋3(my₁＋ny₂)²＝3b²，即m²(x1(2)＋3y1(2))＋n²(x2(2)＋3y2(2))＋2mn(x₁x₂＋3y₁y₂)＝3b².

∴x₁＋x₂＝2(3c)，a²＝2(3)c²，b²＝2(1)c²，

x₁x₂＝a2＋b2(a2c2－a2b2)＝8(3)c²，

∴x₁x₂＋3y₁y₂＝x₁x₂＋3(－x₁＋c)(－x₂＋c)＝4x₁x₂－3c(x₁＋x₂)＋3c²＝2(3)c²－2(9)c²＋3c²＝0，

将x1(2)＋3y1(2)＝3b²，x2(2)＋3y2(2)＝3b²代入得

3b²m²＋3b²n²＝3b²，即m²＋n²＝1.