2017届高考理科数学二轮复习训练：1-4-1 空间几何体（参考解析）

一、选择题

1.[2015·山西四校联考(三)]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )

A.3(8)π    B.3(16)π

C.8π    D．16π

答案 B

解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为π×2²×2－3(1)π×2²×2＝3(16)π，故选B.

2.[2015·太原一模]已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(  )

A．16    B．32

C.48    D．144

答案 C

解析 由题意可得，该几何体为四棱锥P－ABCD，如图所示，∴V_P－ABCD＝3(1)×2((2＋6))×6×6＝48.故选C.

3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为(  )

A．1    B.2(5)

C.    D．2

答案 D

解析 分析题意可知，该几何体为三棱锥A－BCD，如图所示，最大面为边长为2的等边三角形，故其面积为4(3)×(2)²＝2.

4.[2015·南昌一模]如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点P是平面A₁B₁C₁D₁内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为(  )

A．1∶1    B．2∶1

C.2∶3    D．3∶2

答案 A

解析 根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.

5.[2015·贵州七校联考(一)]如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(  )

A．①②⑥    B．①②③

C.④⑤⑥    D．③④⑤

答案 B

解析 正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.

6．[2015·石家庄一模]如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB₁与平面AB₁C₁所成的角的大小为(  )

A.6(π)    B.4(π)

C.3(π)    D.2(π)

答案 A

解析 取B₁C₁的中点D，连接AD，A₁D，∵侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，∴三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴BB₁∥AA₁，∴AA₁与平面AB₁C₁所成的角即是BB₁与平面AB₁C₁所成的角．∵B₁C₁⊥A₁D，B₁C₁⊥AA₁，∴B₁C₁⊥平面AA₁D，∴平面AA₁D⊥平面AB₁C₁，∴AA₁与平面AB₁C₁所成的角为∠A₁AD，∵AA₁＝3，A₁D＝，∴tan∠A₁AD＝3(3)，∴∠A₁AD＝6(π)，∴BB₁与平面AB₁C₁所成的角为6(π).故选A.

7.[2015·长春质监(二)]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )

A.3(16)    B.3(20)

C.2(15)    D.2(13)

答案 D

解析 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－3(4)－6(1)＝2(13).故选D.

8.[2015·陕西质检(一)]在正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，则AC′与BC所成角的余弦值为(  )

A.5(5)    B.6(5)

C.6(6)    D.6(30)

答案 C

解析 由题意知，∠AC′B′即为AC′与BC所成的角，连接AB′，在Rt△AB′C′中，AC′＝，B′C′＝1，故cos∠AC′B′＝6(6)，故选C.

9.[2015·洛阳统考]已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为4(3)，则球O的表面积为(  )

A.36π    B．16π

C.12π    D.3(16)π

答案 B

解析 由题意可得，∠ABC＝3(2π)，△ABC的外接圆半径r＝，当三棱锥的体积取最大值时，V_D－ABC＝3(1)S_△ABC·h(h为点D到底面ABC的距离)⇒4(3)＝3(1)·4(3)·h⇒h＝3，设R为球O的半径，则(3－R)²＝R²－r²⇒R＝2，

∴球O的表面积为4π·2²＝16π.

10.已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为3(3)，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为(  )

A.2π    B.3(2)π

C.π    D.3(2)π

答案 D

解析 如图，取AB的中点为M，连接CM，取DE的中点为N，连接MN，CN，可知∠CMN即为二面角C－AB－D的平面角，利用余弦定理可求CN＝2(3)＝CM，所以该几何体为正四棱锥，半径R＝2(2)，V＝3(4)πR³＝3(2π)，故选D.

二、填空题

11.[2015·南宁适应性测试(一)]设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S₁，S₂，体积分别为V₁，V₂.若它们的侧面积相等且V2(V1)＝2(3)，则S2(S1)的值是________．

答案 4(9)

解析 依题意，设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r₁，r₂，高分别为h₁，h₂，则有2πr₁h₁＝2πr₂h₂，即r₁h₁＝r₂h₂，V2(V1)＝h2(2)＝r2(r1)＝2(3)，S2(S1)＝2(2)＝r2(r1)²＝4(9).

12.[2015·唐山一模]在半径为5的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB＝AC＝AD＝2，则平面BCD被球所截得图形的面积为________．

答案 16π

解析 过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是△BCD的外心，外接球球心O位于直线AM上，设△BCD所在截面圆半径为r，∵OA＝OB＝5，AB＝2，∴在△ABO中，BO²＝AB²＋AO²－2AB×AO×cos∠BAO，∴cos∠BAO＝5(5)，∴sin∠BAO＝5(5).在Rt△ABM中，r＝2sin∠BAO＝4，∴所求面积S＝πr²＝16π.

13.[2015·吉林长春质监(二)]正四面体ABCD的外接球半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为________．

答案 3(8π)

解析 由题意，面积最小的截面是以AB为直径的圆，在正四面体ABCD中，设E为△BCD的中心，连接AE，BE，则球心O在AE上，延长AE交球面于F，则AF是球的直径，∠ABF＝90°，又AE⊥BE，在△ABF中，由射影定理得AB²＝AE·AF＝4AE，又AE＝＝3(6)AB，∴AB＝3(6)，故截面面积的最小值为π3(6)²＝3(8π).

14．[2015·大连高三双基测试]如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________．

答案 6(2)

解析 因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面ADC，BC⊥AF，又AF⊥CD，所以AF⊥平面DCB，AF⊥DB，又DB⊥AE，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D－AEF的高，且AF⊥EF.AE为等腰三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则底面△AEF的面积S＝2(1)ab≤2(1)·2(a2＋b2)＝2(1)×2(2)＝2(1)，所以三棱锥D－AEF的体积V≤3(1)×2(1)×＝6(2)(当且仅当a＝b＝1时等号成立).